题目
设((X)_(1),(X)_(2))为取自总体((X)_(1),(X)_(2))的样本，((X)_(1),(X)_(2))，((X)_(1),(X)_(2))为常数，且((X)_(1),(X)_(2))。（1）证明((X)_(1),(X)_(2))为((X)_(1),(X)_(2))的无偏估计；（2）证明当((X)_(1),(X)_(2))，即((X)_(1),(X)_(2))时，方差((X)_(1),(X)_(2))最小。
设
为取自总体
的样本，
，
为常数，且
。
（1）证明
为
的无偏估计；
（2）证明当
，即
时，方差
最小。
题目解答
答案
（1）无偏性：估计量的数学期望应等于未知参数的真值。
即
为的无偏估计。
（2）
转换成
求取最小值时
的取值。
，
；
驻点
，二次函数图像开口向上，且对称轴为
，所以当时
取最小值。
同理可得当时，
最小，最小。
解析
步骤 1：证明$\hat {u}={c}_{1}{X}_{1}+{c}_{2}{X}_{2}$为$\mu$的无偏估计
无偏性：估计量的数学期望应等于未知参数的真值。
$E(\hat {u})=E({c}_{1}{X}_{1}+{c}_{2}{X}_{2})={c}_{1}E({X}_{1})+{c}_{2}E({X}_{2})$
$=({c}_{1}+{c}_{2})E(X)=E(X)=\mu$
即$\hat {u}$为$\mu$的无偏估计。
步骤 2：证明当${c}_{1}={c}_{2}=\dfrac {1}{2}$时，方差$D(\hat {u})$最小
$D(\hat {u})=D({c}_{1}{X}_{1}+{c}_{2}{X}_{2})={c}_{1}^{2}D({X}_{1})+{c}_{2}^{2}D({X}_{2})$
$={c}_{1}^{2}D({X}_{1})+{(1-{c}_{1})}^{2}D({X}_{2})=({c}_{1}^{2}+{(1-{c}_{1})}^{2})D({X}_{1})$
转换成$f(x)={x}^{2}+{(1-x)}^{2}$求取最小值时$c$的取值。
$f(x)=2{x}^{2}-2x+1$，$f'(x)=4x-2$；
驻点$c=\dfrac {1}{2}$，二次函数图像开口向上，且对称轴为$c=-\dfrac {b}{2a}=\dfrac {1}{2}$，所以当$c=\dfrac {1}{2}$时$f(x)$取最小值。
同理可得当${c}_{1}={c}_{2}=\dfrac {1}{2}$时，${c}_{1}^{2}+{(1-{c}_{1})}^{2}$最小，$D(\hat {u})$最小。
无偏性：估计量的数学期望应等于未知参数的真值。
$E(\hat {u})=E({c}_{1}{X}_{1}+{c}_{2}{X}_{2})={c}_{1}E({X}_{1})+{c}_{2}E({X}_{2})$
$=({c}_{1}+{c}_{2})E(X)=E(X)=\mu$
即$\hat {u}$为$\mu$的无偏估计。
步骤 2：证明当${c}_{1}={c}_{2}=\dfrac {1}{2}$时，方差$D(\hat {u})$最小
$D(\hat {u})=D({c}_{1}{X}_{1}+{c}_{2}{X}_{2})={c}_{1}^{2}D({X}_{1})+{c}_{2}^{2}D({X}_{2})$
$={c}_{1}^{2}D({X}_{1})+{(1-{c}_{1})}^{2}D({X}_{2})=({c}_{1}^{2}+{(1-{c}_{1})}^{2})D({X}_{1})$
转换成$f(x)={x}^{2}+{(1-x)}^{2}$求取最小值时$c$的取值。
$f(x)=2{x}^{2}-2x+1$，$f'(x)=4x-2$；
驻点$c=\dfrac {1}{2}$，二次函数图像开口向上，且对称轴为$c=-\dfrac {b}{2a}=\dfrac {1}{2}$，所以当$c=\dfrac {1}{2}$时$f(x)$取最小值。
同理可得当${c}_{1}={c}_{2}=\dfrac {1}{2}$时，${c}_{1}^{2}+{(1-{c}_{1})}^{2}$最小，$D(\hat {u})$最小。