如果复数z_1,z_2,z_3满足等式((z_2-z_1))/((z_3-z_1))= ((z_1-z_3))/((z_2-z_3))，证明:|z_2-z_1|=|z_3-z_1|=|z_2-z_3|，并说明这些等式的几何意义。

步骤 1：等式变形
给定等式为$\frac{(z_2-z_1)}{(z_3-z_1)}= \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}$，我们首先将等式变形，以便于后续的分析。将等式两边同时乘以$(z_3-z_1)(z_2-z_3)$，得到$(z_2-z_1)(z_2-z_3)=(z_1-z_3)(z_3-z_1)$。

步骤 2：引入变量
令$a=\frac{z_3-z_1}{z_2-z_3}$，则有$\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=a$。将$a$代入等式$(z_2-z_1)(z_2-z_3)=(z_1-z_3)(z_3-z_1)$，得到$a(z_2-z_3)^2=(1-a)(z_3-z_1)^2$。

步骤 3：求解$a$
由于$a=\frac{z_3-z_1}{z_2-z_3}$，代入上式得到$a^2+a+1=0$。解这个方程，得到$a$的值为$a=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}$，即$a$是复数单位的立方根，满足$a^3=1$且$|a|=1$。

步骤 4：证明等式
由于$|a|=1$，则有$|\frac{z_3-z_1}{z_2-z_3}|=1$，即$|z_3-z_1|=|z_2-z_3|$。同理，由于$\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=a$，则有$|\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}|=1$，即$|z_2-z_1|=|z_3-z_1|$。因此，$|z_2-z_1|=|z_3-z_1|=|z_2-z_3|$。

步骤 5：几何意义
这些等式表示$z_1,z_2,z_3$在复平面内为一个等边三角形的三个顶点。这是因为等式表明这三个复数之间的距离相等，即它们构成的三角形是等边的。