题目
设总体×具有均值×为总体×的一个样本，则可作为×的无偏估计量的是（ ）。××××
设总体
具有均值
为总体的一个样本，则可作为
的无偏估计量的是（ ）。
题目解答
答案
已知总体具有均值
，
为总体的一个样本
所以由期望的性质，得
；
；
；
。
所以由无偏估计的性质，得可作为的无偏估计量的是
。
故答案为可作为的无偏估计量的是。
解析
步骤 1：计算每个选项的期望值
已知总体具有均值$E(X)=k$，$X_1,X_2,X_3$为总体的一个样本，所以$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$。
- 对于选项A：$E(\dfrac {1}{2}{X}_{1}+{X}_{2}+\dfrac {1}{2}{X}_{3})=\dfrac {1}{2}E{X}_{1}+E{X}_{2}+\dfrac {1}{2}E{X}_{3}=\dfrac {1}{2}\mu+\mu+\dfrac {1}{2}\mu=2\mu$。
- 对于选项B：$E(\dfrac {1}{2}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}+\dfrac {1}{6}{X}_{3})=\dfrac {1}{2}E{X}_{1}+\dfrac {1}{3}E{X}_{2}+\dfrac {1}{6}E{X}_{3}=\dfrac {1}{2}\mu+\dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {1}{6}\mu=\mu$。
- 对于选项C：$E({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})=E{X}_{1}+E{X}_{2}+E{X}_{3}=\mu+\mu+\mu=3\mu$。
- 对于选项D：$E(\dfrac {1}{2}{X}_{1}-\dfrac {1}{3}{X}_{2}-\dfrac {1}{6}{X}_{3})=\dfrac {1}{2}E{X}_{1}-\dfrac {1}{3}E{X}_{2}-\dfrac {1}{6}E{X}_{3}=\dfrac {1}{2}\mu-\dfrac {1}{3}\mu-\dfrac {1}{6}\mu=0$。
步骤 2：判断无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真值。根据步骤1的计算结果，只有选项B的期望值等于$\mu$，因此选项B是无偏估计量。
已知总体具有均值$E(X)=k$，$X_1,X_2,X_3$为总体的一个样本，所以$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$。
- 对于选项A：$E(\dfrac {1}{2}{X}_{1}+{X}_{2}+\dfrac {1}{2}{X}_{3})=\dfrac {1}{2}E{X}_{1}+E{X}_{2}+\dfrac {1}{2}E{X}_{3}=\dfrac {1}{2}\mu+\mu+\dfrac {1}{2}\mu=2\mu$。
- 对于选项B：$E(\dfrac {1}{2}{X}_{1}+\dfrac {1}{3}{X}_{2}+\dfrac {1}{6}{X}_{3})=\dfrac {1}{2}E{X}_{1}+\dfrac {1}{3}E{X}_{2}+\dfrac {1}{6}E{X}_{3}=\dfrac {1}{2}\mu+\dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {1}{6}\mu=\mu$。
- 对于选项C：$E({X}_{1}+{X}_{2}+{X}_{3})=E{X}_{1}+E{X}_{2}+E{X}_{3}=\mu+\mu+\mu=3\mu$。
- 对于选项D：$E(\dfrac {1}{2}{X}_{1}-\dfrac {1}{3}{X}_{2}-\dfrac {1}{6}{X}_{3})=\dfrac {1}{2}E{X}_{1}-\dfrac {1}{3}E{X}_{2}-\dfrac {1}{6}E{X}_{3}=\dfrac {1}{2}\mu-\dfrac {1}{3}\mu-\dfrac {1}{6}\mu=0$。
步骤 2：判断无偏估计量
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真值。根据步骤1的计算结果，只有选项B的期望值等于$\mu$，因此选项B是无偏估计量。