题目
16.设总体X服从N(mu,sigma^2)，sigma^2>0，从该总体中抽取样本x_(1),x_(2),...,x_(2n)(ngeqslant1)，其样本均值为overline(x)=(1)/(2n)sum_(i=1)^2nx_(i)，求统计量y=sum_(i=1)^n(x_(i)+x_(n+i)-2overline(x))^2的数学期望.
16.设总体X服从$N(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}>0$，从该总体中抽取样本$x_{1},x_{2},\cdots,x_{2n}(n\geqslant1)$，其样本均值为$\overline{x}=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}x_{i}$，求统计量$y=\sum_{i=1}^{n}(x_{i}+x_{n+i}-2\overline{x})^{2}$的数学期望.
题目解答
答案
定义新变量 $ Y_i = X_i + X_{n+i} $，则 $ Y_i \sim N(2\mu, 2\sigma^2) $。
样本均值 $ \overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i = 2\overline{X} $。
统计量 $ Y = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - 2\overline{X})^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 $。
由正态分布性质，$\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 \sim \chi^2(n-1)$，期望为 $ n-1 $。
故 $ E(Y) = 2\sigma^2 (n-1) $。
答案：$\boxed{2(n-1)\sigma^2}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的性质、样本均值的分布以及卡方分布的应用。关键在于将原统计量转化为标准的卡方分布形式，从而利用其期望公式求解。
解题思路：
- 变量替换：将原统计量中的项$x_i + x_{n+i}$视为新的正态变量$Y_i$，简化表达式。
- 分析分布：确定$Y_i$的分布参数（均值和方差），并计算其样本均值$\overline{Y}$。
- 卡方分布转化：将统计量转化为$\sum (Y_i - \overline{Y})^2$的形式，利用卡方分布的期望公式求解。
破题关键：
- 正态变量的线性组合：$Y_i = X_i + X_{n+i}$仍服从正态分布。
- 样本均值的关系：$\overline{Y} = 2\overline{X}$，简化离差平方和的表达式。
- 卡方分布的自由度：离差平方和的自由度为$n-1$，结合方差计算最终期望。
定义新变量
设$Y_i = X_i + X_{n+i}$，则：
- $Y_i \sim N(2\mu, 2\sigma^2)$（正态变量的线性组合）。
- 样本均值$\overline{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i = 2\overline{X}$（由样本均值的线性性质）。
统计量转化
原统计量可表示为：
$Y = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - 2\overline{X})^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2.$
应用卡方分布性质
由于$Y_i \sim N(2\mu, 2\sigma^2)$，标准化后：
$\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 \sim \chi^2(n-1).$
卡方分布的期望为自由度$n-1$，因此：
$E\left( \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \overline{Y})^2 \right) = 2\sigma^2 \cdot (n-1).$