9.已知随机变量(X_(1),X_(2))的概率密度为f_(1)(x_(1),x_(2))，设Y_(1)=2X_(1),Y_(2)=(1)/(3)X_(2)，则随机变量(Y_(1),Y_(2))的概率密度f_(2)(y_(1),y_(2))=（）A. f_(1)((1)/(2)y_(1),3y_(2))B. (3)/(2)f_(1)((1)/(2)y_(1),3y_(2))C. f_(1)(2y_(1),(1)/(3)y_(2))D. (2)/(3)f_(1)(2y_(1),(1)/(3)y_(2))

考查要点：本题主要考查随机变量的概率密度变换，涉及雅可比行列式的应用。关键在于理解变量替换时如何调整概率密度函数。

解题核心思路：

1. 变量替换关系：将新变量$Y_1, Y_2$表示为原变量$X_1, X_2$的函数，并求出反函数。
2. 雅可比行列式计算：计算变量替换的雅可比行列式，用于调整概率密度。
3. 概率密度变换公式：根据公式$f_Y(y) = f_X(x) \cdot |\text{Jacobian行列式}|$，代入反函数和行列式值。

破题关键点：

• 正确建立变量关系：明确$Y_1 = 2X_1$和$Y_2 = \frac{1}{3}X_2$的反函数形式。
• 准确计算雅可比行列式：注意行列式的绝对值对概率密度的影响。

变量替换与雅可比行列式

1. 变量关系：
   由$Y_1 = 2X_1$得$X_1 = \frac{Y_1}{2}$，由$Y_2 = \frac{1}{3}X_2$得$X_2 = 3Y_2$。

2. 雅可比矩阵：
   $\frac{\partial(X_1, X_2)}{\partial(Y_1, Y_2)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

3. 行列式计算：
   $\left| \frac{\partial(X_1, X_2)}{\partial(Y_1, Y_2)} \right| = \frac{1}{2} \cdot 3 - 0 = \frac{3}{2}$

概率密度变换公式

根据变量替换公式：
$f_2(y_1, y_2) = f_1\left(\frac{y_1}{2}, 3y_2\right) \cdot \left|\frac{\partial(X_1, X_2)}{\partial(Y_1, Y_2)}\right| = \frac{3}{2} f_1\left(\frac{y_1}{2}, 3y_2\right)$

选项匹配：
选项B的表达式$\frac{3}{2}f_1\left(\frac{1}{2}y_1, 3y_2\right)$与推导结果一致。