三.(10分)在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的,7 盒是乙厂生产的,4盒是丙厂生产的,其余是丁厂生产的,该四厂的产品合格品率依次为0.8,0.7,0.6, 0.5 ,现任意从某一盒中任取一个元件,经测试发现是不合格品, 试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大 ?

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要根据已知结果反推最可能的来源。

解题核心思路：

1. 确定各厂的不合格品率（1 - 合格品率）。
2. 计算各厂被选中的先验概率（盒数占比）。
3. 应用贝叶斯定理，计算在抽到不合格品的条件下，各厂的后验概率。
4. 比较后验概率，找出最大的对应厂。

破题关键点：

• 正确计算各厂的不合格品率。
• 全概率公式求总不合格品概率。
• 后验概率的比较需注意分子分母的对应关系。

步骤1：确定各厂的不合格品率

• 甲厂：$1 - 0.8 = 0.2$
• 乙厂：$1 - 0.7 = 0.3$
• 丙厂：$1 - 0.6 = 0.4$
• 丁厂：$1 - 0.5 = 0.5$

步骤2：计算各厂的先验概率（盒数占比）

• 甲厂：$\dfrac{5}{18}$
• 乙厂：$\dfrac{7}{18}$
• 丙厂：$\dfrac{4}{18}$
• 丁厂：$\dfrac{2}{18}$

步骤3：计算总不合格品概率（全概率公式）

$\begin{aligned}P(B) &= \sum P(B|A_i)P(A_i) \\&= \dfrac{5}{18} \times 0.2 + \dfrac{7}{18} \times 0.3 + \dfrac{4}{18} \times 0.4 + \dfrac{2}{18} \times 0.5 \\&= \dfrac{1 + 2.1 + 1.6 + 1}{18} = \dfrac{5.7}{18}\end{aligned}$

步骤4：应用贝叶斯定理计算后验概率

• 甲厂：
  $P(A_1|B) = \dfrac{\dfrac{5}{18} \times 0.2}{\dfrac{5.7}{18}} = \dfrac{1}{5.7} = \dfrac{10}{57}$
• 乙厂：
  $P(A_2|B) = \dfrac{\dfrac{7}{18} \times 0.3}{\dfrac{5.7}{18}} = \dfrac{2.1}{5.7} = \dfrac{21}{57}$
• 丙厂：
  $P(A_3|B) = \dfrac{\dfrac{4}{18} \times 0.4}{\dfrac{5.7}{18}} = \dfrac{1.6}{5.7} = \dfrac{16}{57}$
• 丁厂：
  $P(A_4|B) = \dfrac{\dfrac{2}{18} \times 0.5}{\dfrac{5.7}{18}} = \dfrac{1}{5.7} = \dfrac{10}{57}$

步骤5：比较后验概率

乙厂的后验概率 $\dfrac{21}{57}$ 最大，因此该盒产品由乙厂生产的可能性最大。