设随机变量X的概率密度函数是f (x)= (1)/(sqrt(pi)) e^-x^2 + 4x - 4,则有().A. X sim N(2, (1)/(2))B. X sim N(4, (1)/(4))C. X sim N(0, 1)D. X sim N(2, 1)

本题考查正态分布概率密度函数的形式及参数的确定。解题思路是先将给定的概率密度函数进行变形，使其与正态分布概率密度函数的标准形式进行对比，从而确定正态分布的参数$\mu$和$\sigma^2$。

步骤一：对给定的概率密度函数进行变形

已知随机变量$X$的概率密度函数是$f (x)= \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2 + 4x - 4}$，对指数部分进行配方：
$-x^2 + 4x - 4=-(x^2 - 4x + 4)=-(x - 2)^2$
所以$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(x - 2)^2}$。

步骤二：回顾正态分布概率密度函数的标准形式

正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma^2$为方差。

步骤三：对比变形后的函数与标准形式，确定参数

将$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(x - 2)^2}$与$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$进行对比：

• 对于指数部分，可得$\mu = 2$。
• 对于指数部分的系数，有$1 = \frac{1}{2\sigma^2}$，解方程$\frac{1}{2\sigma^2}=1$，两边同时乘以$2\sigma^2$得到$1 = 2\sigma^2$，再两边同时除以$2$，解得$\sigma^2 = \frac{1}{2}$。

步骤四：验证系数部分

将$\sigma^2 = \frac{1}{2}$代入$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}$中，可得$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{2\pi}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\times2\pi}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，与给定函数的系数一致。

综上，$X$服从正态分布$N(2, \frac{1}{2})$。