题目
3.设随机变量(X,Y)的概率分布如下表所示:-|||-X Y -1 0 1 2-|||--1 0.2 0.15 0.1 0.3-|||-2 0.1 0 0.1 0.05-|||-求X与Y的边缘分布,X和Y是否独立
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算X的边缘分布
根据联合概率分布表，计算X的边缘分布，即求出X取每个值的概率。对于X=-1，其边缘概率为0.2+0.15+0.1+0.3=0.75；对于X=2，其边缘概率为0.1+0+0.1+0.05=0.25。因此，X的边缘分布为：P(X=-1)=0.75，P(X=2)=0.25。
步骤 2：计算Y的边缘分布
根据联合概率分布表，计算Y的边缘分布，即求出Y取每个值的概率。对于Y=-1，其边缘概率为0.2+0.1=0.3；对于Y=0，其边缘概率为0.15+0=0.15；对于Y=1，其边缘概率为0.1+0.1=0.2；对于Y=2，其边缘概率为0.3+0.05=0.35。因此，Y的边缘分布为：P(Y=-1)=0.3，P(Y=0)=0.15，P(Y=1)=0.2，P(Y=2)=0.35。
步骤 3：判断X和Y是否独立
根据独立性的定义，如果对于所有i和j，都有P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)，则X和Y是独立的。检查联合概率分布表中的每个值，例如P(X=-1,Y=-1)=0.2，而P(X=-1)P(Y=-1)=0.75*0.3=0.225，两者不相等，因此X和Y不是独立的。
根据联合概率分布表，计算X的边缘分布，即求出X取每个值的概率。对于X=-1，其边缘概率为0.2+0.15+0.1+0.3=0.75；对于X=2，其边缘概率为0.1+0+0.1+0.05=0.25。因此，X的边缘分布为：P(X=-1)=0.75，P(X=2)=0.25。
步骤 2：计算Y的边缘分布
根据联合概率分布表，计算Y的边缘分布，即求出Y取每个值的概率。对于Y=-1，其边缘概率为0.2+0.1=0.3；对于Y=0，其边缘概率为0.15+0=0.15；对于Y=1，其边缘概率为0.1+0.1=0.2；对于Y=2，其边缘概率为0.3+0.05=0.35。因此，Y的边缘分布为：P(Y=-1)=0.3，P(Y=0)=0.15，P(Y=1)=0.2，P(Y=2)=0.35。
步骤 3：判断X和Y是否独立
根据独立性的定义，如果对于所有i和j，都有P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)，则X和Y是独立的。检查联合概率分布表中的每个值，例如P(X=-1,Y=-1)=0.2，而P(X=-1)P(Y=-1)=0.75*0.3=0.225，两者不相等，因此X和Y不是独立的。