题目
4、设a_(1i)a_(23)a_(35)a_(44)a_(5j)是五阶行列式中带有正号的项，则i=____，j=____。
4、设$a_{1i}a_{23}a_{35}a_{44}a_{5j}$是五阶行列式中带有正号的项，则i=____，j=____。
题目解答
答案
五阶行列式中，项 $a_{1i}a_{23}a_{35}a_{44}a_{5j}$ 带正号，需满足排列 $(i, 3, 5, 4, j)$ 的逆序数为偶数。
1. **确定 $i$ 和 $j$ 的值**：
由于 $(i, 3, 5, 4, j)$ 是 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 的排列，$i$ 和 $j$ 必为 $1$ 和 $2$。
2. **计算逆序数**：
- **情况1：$i = 1$，$j = 2$**
排列 $(1, 3, 5, 4, 2)$ 的逆序数为 $4$（偶数），符合正号条件。
- **情况2：$i = 2$，$j = 1$**
排列 $(2, 3, 5, 4, 1)$ 的逆序数为 $5$（奇数），不符合正号条件。
**结论**：
$i = 1$，$j = 2$
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
i = 1 \\
j = 2 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查行列式展开项符号的判断，涉及排列的逆序数计算。
解题核心思路：
行列式中某一项的符号由其对应的列下标排列的逆序数决定。逆序数为偶数时符号为正，奇数时为负。题目中给出的项为正号，因此需要确定列下标排列 $(i, 3, 5, 4, j)$ 的逆序数为偶数。
破题关键点：
- 确定排列的元素：列下标必须是 $1,2,3,4,5$ 的一个排列，因此 $i$ 和 $j$ 必须是未出现的 $1$ 和 $2$。
- 计算两种可能排列的逆序数：分别验证 $(1,3,5,4,2)$ 和 $(2,3,5,4,1)$ 的逆序数是否为偶数。
步骤1：确定可能的排列
列下标排列为 $(i, 3, 5, 4, j)$，其中 $i$ 和 $j$ 必须是 $1$ 和 $2$（因为 $3,4,5$ 已经出现）。因此有两种可能的排列：
- 情况1：$i=1$，$j=2$，排列为 $(1,3,5,4,2)$
- 情况2：$i=2$，$j=1$，排列为 $(2,3,5,4,1)$
步骤2：计算逆序数
情况1：排列 $(1,3,5,4,2)$
- 1 后无比它小的数，逆序数为 $0$
- 3 后有 $2$，逆序数为 $1$
- 5 后有 $4$ 和 $2$，逆序数为 $2$
- 4 后有 $2$，逆序数为 $1$
- 2 后无比它小的数，逆序数为 $0$
总逆序数：$0+1+2+1+0=4$（偶数，符合条件）
情况2：排列 $(2,3,5,4,1)$
- 2 后有 $1$，逆序数为 $1$
- 3 后有 $1$，逆序数为 $1$
- 5 后有 $4$ 和 $1$，逆序数为 $2$
- 4 后有 $1$，逆序数为 $1$
- 1 后无比它小的数，逆序数为 $0$
总逆序数：$1+1+2+1+0=5$（奇数，不符合条件）
步骤3：结论
只有 情况1 的逆序数为偶数，因此 $i=1$，$j=2$。