题目
11.设某工件的长度X~N(μ，16)，今抽取9件测量其长度，得数据(单位:mm)如下：142，138，150，165，156，148，132，135，160.试求参数μ的置信度为95%的置信区间.
11.设某工件的长度X~N(μ，16)，今抽取9件测量其长度，得数据(单位:mm)如下：
142，138，150，165，156，148，132，135，160.
试求参数μ的置信度为95%的置信区间.
题目解答
答案
为了求出参数 $\mu$ 的置信度为95%的置信区间，我们需要按照以下步骤进行：
1. **计算样本均值 $\bar{X}$:**
样本数据为：142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160.
样本均值 $\bar{X}$ 的计算公式为：
\[
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
\]
其中 $n = 9$ 是样本大小。代入数据，我们得到：
\[
\bar{X} = \frac{1}{9} (142 + 138 + 150 + 165 + 156 + 148 + 132 + 135 + 160) = \frac{1}{9} \times 1324 = \frac{1336}{9} \approx 148.44
\]
2. **确定标准差 $\sigma$ 和标准误差:**
已知总体方差 $\sigma^2 = 16$，所以总体标准差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$。
标准误差为：
\[
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} \approx 1.333
\]
3. **找到临界值 $z_{\alpha/2}$:**
对于95%的置信度，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。标准正态分布的 $z_{0.025}$ 值为1.96。
4. **计算置信区间:**
置信区间的公式为：
\[
\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
代入我们已有的值，得到：
\[
148.44 \pm 1.96 \times \frac{4}{3} = 148.44 \pm 1.96 \times 1.333 \approx 148.44 \pm 2.613
\]
因此，置信区间为：
\[
(148.44 - 2.613, 148.44 + 2.613) \approx (145.827, 151.053)
\]
所以，参数 $\mu$ 的置信度为95%的置信区间是 $\boxed{(145.83, 151.05)}$。
解析
步骤 1：计算样本均值 $\bar{X}$
样本数据为：142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 样本均值 $\bar{X}$ 的计算公式为：
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
其中 $n = 9$ 是样本大小。代入数据，我们得到：
\[ \bar{X} = \frac{1}{9} (142 + 138 + 150 + 165 + 156 + 148 + 132 + 135 + 160) = \frac{1}{9} \times 1324 = \frac{1336}{9} \approx 148.44 \]
步骤 2：确定标准差 $\sigma$ 和标准误差
已知总体方差 $\sigma^2 = 16$，所以总体标准差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$。
标准误差为：
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \]
步骤 3：找到临界值 $z_{\alpha/2}$
对于95%的置信度，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。标准正态分布的 $z_{0.025}$ 值为1.96。
步骤 4：计算置信区间
置信区间的公式为：
\[ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
代入我们已有的值，得到：
\[ 148.44 \pm 1.96 \times \frac{4}{3} = 148.44 \pm 1.96 \times 1.333 \approx 148.44 \pm 2.613 \]
因此，置信区间为：
\[ (148.44 - 2.613, 148.44 + 2.613) \approx (145.827, 151.053) \]
样本数据为：142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 样本均值 $\bar{X}$ 的计算公式为：
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \]
其中 $n = 9$ 是样本大小。代入数据，我们得到：
\[ \bar{X} = \frac{1}{9} (142 + 138 + 150 + 165 + 156 + 148 + 132 + 135 + 160) = \frac{1}{9} \times 1324 = \frac{1336}{9} \approx 148.44 \]
步骤 2：确定标准差 $\sigma$ 和标准误差
已知总体方差 $\sigma^2 = 16$，所以总体标准差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$。
标准误差为：
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \]
步骤 3：找到临界值 $z_{\alpha/2}$
对于95%的置信度，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$。标准正态分布的 $z_{0.025}$ 值为1.96。
步骤 4：计算置信区间
置信区间的公式为：
\[ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
代入我们已有的值，得到：
\[ 148.44 \pm 1.96 \times \frac{4}{3} = 148.44 \pm 1.96 \times 1.333 \approx 148.44 \pm 2.613 \]
因此，置信区间为：
\[ (148.44 - 2.613, 148.44 + 2.613) \approx (145.827, 151.053) \]