题目
4.13 设随机变量Xsim N(mu,sigma_(1)^2)，Ysim N(mu,sigma_(2)^2)，且X和Y相互独立，a，b为常数，求D(aX-bY)，E(aX^2-bY^2).
4.13 设随机变量$X\sim N(\mu,\sigma_{1}^{2})$，$Y\sim N(\mu,\sigma_{2}^{2})$，且X和Y相互独立，a，b为常数，求$D(aX-bY)$，$E(aX^{2}-bY^{2})$.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要找到随机变量 $aX - bY$ 的方差和随机变量 $aX^2 - bY^2$ 的期望值。让我们一步步来解决。
### 第一步：找到 $D(aX - bY)$
两个独立随机变量的线性组合的方差由以下公式给出：
\[ D(aX - bY) = a^2 D(X) + (-b)^2 D(Y) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) \]
由于 $X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$ 和 $Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$，我们有 $D(X) = \sigma_1^2$ 和 $D(Y) = \sigma_2^2$。因此，
\[ D(aX - bY) = a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 \]
### 第二步：找到 $E(aX^2 - bY^2)$
随机变量的函数的期望值是该函数在该变量的概率密度函数上的积分。对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$，$X^2$ 的期望值由以下公式给出：
\[ E(X^2) = \text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \sigma_1^2 + \mu^2 \]
同样，对于 $Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$，
\[ E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma_2^2 + \mu^2 \]
因此，线性组合 $aX^2 - bY^2$ 的期望值为：
\[ E(aX^2 - bY^2) = aE(X^2) - bE(Y^2) = a(\sigma_1^2 + \mu^2) - b(\sigma_2^2 + \mu^2) = a\sigma_1^2 + a\mu^2 - b\sigma_2^2 - b\mu^2 = a\sigma_1^2 - b\sigma_2^2 + (a - b)\mu^2 \]
### 最终答案
方差 $D(aX - bY)$ 和期望值 $E(aX^2 - bY^2)$ 分别为：
\[ \boxed{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2} \]
\[ \boxed{a \sigma_1^2 - b \sigma_2^2 + (a - b) \mu^2} \]
解析
步骤 1：计算 $D(aX - bY)$
根据方差的性质，对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有：
\[ D(aX - bY) = a^2 D(X) + (-b)^2 D(Y) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) \]
由于 $X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$ 和 $Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$，我们有 $D(X) = \sigma_1^2$ 和 $D(Y) = \sigma_2^2$。因此，
\[ D(aX - bY) = a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 \]
步骤 2：计算 $E(aX^2 - bY^2)$
对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$，$X^2$ 的期望值由以下公式给出：
\[ E(X^2) = \text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \sigma_1^2 + \mu^2 \]
同样，对于 $Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$，
\[ E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma_2^2 + \mu^2 \]
因此，线性组合 $aX^2 - bY^2$ 的期望值为：
\[ E(aX^2 - bY^2) = aE(X^2) - bE(Y^2) = a(\sigma_1^2 + \mu^2) - b(\sigma_2^2 + \mu^2) = a\sigma_1^2 + a\mu^2 - b\sigma_2^2 - b\mu^2 = a\sigma_1^2 - b\sigma_2^2 + (a - b)\mu^2 \]
根据方差的性质，对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有：
\[ D(aX - bY) = a^2 D(X) + (-b)^2 D(Y) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) \]
由于 $X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$ 和 $Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$，我们有 $D(X) = \sigma_1^2$ 和 $D(Y) = \sigma_2^2$。因此，
\[ D(aX - bY) = a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 \]
步骤 2：计算 $E(aX^2 - bY^2)$
对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma_1^2)$，$X^2$ 的期望值由以下公式给出：
\[ E(X^2) = \text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \sigma_1^2 + \mu^2 \]
同样，对于 $Y \sim N(\mu, \sigma_2^2)$，
\[ E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = \sigma_2^2 + \mu^2 \]
因此，线性组合 $aX^2 - bY^2$ 的期望值为：
\[ E(aX^2 - bY^2) = aE(X^2) - bE(Y^2) = a(\sigma_1^2 + \mu^2) - b(\sigma_2^2 + \mu^2) = a\sigma_1^2 + a\mu^2 - b\sigma_2^2 - b\mu^2 = a\sigma_1^2 - b\sigma_2^2 + (a - b)\mu^2 \]