对任意两个随机变量X和y,若E(XY)=E(X).E(Y),则( )A. D(XY)=D(X).D(Y).B. D(X+Y)=D(X)+D(Y).C. X与Y独立.D. X与Y不独立.

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差、方差性质以及独立性的关系。
解题核心：

1. 协方差为零的条件（即$E(XY)=E(X)E(Y)$）是关键突破口，需明确其与独立性的区别。
2. 方差的性质：当协方差为零时，和的方差公式简化为$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。
   易错点：

• 混淆协方差为零与独立性的关系（协方差为零不一定独立）。
• 错误应用方差乘法公式（需独立时才成立）。

选项分析

选项A：$D(XY)=D(X)D(Y)$

• 错误。
• 原因：方差乘法公式仅在$X$与$Y$独立时成立，而题目中仅给出协方差为零，无法保证独立性。
• 反例：若$X$和$Y$不独立但协方差为零，$D(XY)$一般不等于$D(X)D(Y)$。

选项B：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

• 正确。
• 推导：
  根据方差性质：
  $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y).$
  题目中$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，代入得：
  $D(X+Y)=D(X)+D(Y).$

选项C：$X$与$Y$独立

• 错误。
• 原因：协方差为零仅说明$X$与$Y$不相关，但不相关不一定独立。
• 反例：存在不独立但不相关的随机变量。

选项D：$X$与$Y$不独立

• 错误。
• 原因：题目条件允许$X$与$Y$独立（独立时必然满足$E(XY)=E(X)E(Y)$），因此不能断定“不独立”。