4.设总体分布的概率密度函数为-|||-f(x)= {e)^-(x-mu )/theta xgt mu 0 xleqslant mu .-|||-其中 θ>0, θ,μ均为未知参数。试求:-|||-(1)θ和μ的矩估计量;-|||-(2)θ和μ的极大似然计量。

步骤 1：矩估计量
矩估计量是通过样本矩来估计总体参数的方法。对于给定的概率密度函数，我们首先需要计算总体的一阶和二阶矩，然后用样本矩来估计总体矩，从而得到参数的估计量。
步骤 2：计算总体的一阶矩
总体的一阶矩（即期望）为：
$E(X) = \int_{\mu}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-(x-\mu)/\theta} dx$
通过积分计算，可以得到 $E(X) = \mu + \theta$。
步骤 3：计算总体的二阶矩
总体的二阶矩（即方差）为：
$E(X^2) = \int_{\mu}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\theta} e^{-(x-\mu)/\theta} dx$
通过积分计算，可以得到 $E(X^2) = \mu^2 + 2\mu\theta + \theta^2$。
步骤 4：计算总体的方差
总体的方差为：
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \theta^2$
步骤 5：矩估计量
根据样本的一阶矩（样本均值）和二阶矩（样本方差），可以得到参数的矩估计量：
$\hat{\mu} = \overline{X} - \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}$
$\hat{\theta} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}$
步骤 6：极大似然估计量
极大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于给定的概率密度函数，我们首先需要写出似然函数，然后对参数求导，找到使似然函数最大的参数值。
步骤 7：写出似然函数
似然函数为：
$L(\mu, \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-(X_i - \mu)/\theta}$
步骤 8：对参数求导
对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$\ln L(\mu, \theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)$
对 $\mu$ 和 $\theta$ 求导，得到：
$\frac{\partial \ln L}{\partial \mu} = \frac{n}{\theta}$
$\frac{\partial \ln L}{\partial \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)$
步骤 9：求解极大似然估计量
令导数等于零，解得：
$\hat{\mu} = \min(X_i)$
$\hat{\theta} = \overline{X} - \hat{\mu}$