题目
[6.3]设随机变量X,Y相互独立,且X服从正态分布N (0,σ1^2),Y服从正态分布N(0,a2^22/2),-|||-则概率 |X-Y|lt 1 () .-|||-(A)随a1与σ2的减少而减少-|||-(B)随σ1与σ2的增加而增加-|||-(C)随σ1的增加而减少,随a2的减少而增加-|||-(D)随σ1的增加而增加,随σ2的减少而减少
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X-Y的分布
由于X和Y是相互独立的正态分布随机变量，X~N(0, a1^2)和Y~N(0, a2^2)，则X-Y也服从正态分布，其均值为0，方差为a1^2 + a2^2。因此，X-Y~N(0, a1^2 + a2^2)。
步骤 2：计算概率P{|X-Y|<1}
根据正态分布的性质，可以将概率P{|X-Y|<1}转化为标准正态分布的概率。即
\[ P\{|X-Y|<1\} = P\{-1 < X-Y < 1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{a1^2 + a2^2}}\right) - 1 \]
其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：分析概率随a1和a2的变化
由于Φ函数是单调递增的，因此当a1或a2增加时，分母$\sqrt{a1^2 + a2^2}$增加，导致$\frac{1}{\sqrt{a1^2 + a2^2}}$减小，从而Φ函数的值减小，最终导致P{|X-Y|<1}减小。反之，当a1或a2减小时，P{|X-Y|<1}增加。
由于X和Y是相互独立的正态分布随机变量，X~N(0, a1^2)和Y~N(0, a2^2)，则X-Y也服从正态分布，其均值为0，方差为a1^2 + a2^2。因此，X-Y~N(0, a1^2 + a2^2)。
步骤 2：计算概率P{|X-Y|<1}
根据正态分布的性质，可以将概率P{|X-Y|<1}转化为标准正态分布的概率。即
\[ P\{|X-Y|<1\} = P\{-1 < X-Y < 1\} = 2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{a1^2 + a2^2}}\right) - 1 \]
其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 3：分析概率随a1和a2的变化
由于Φ函数是单调递增的，因此当a1或a2增加时，分母$\sqrt{a1^2 + a2^2}$增加，导致$\frac{1}{\sqrt{a1^2 + a2^2}}$减小，从而Φ函数的值减小，最终导致P{|X-Y|<1}减小。反之，当a1或a2减小时，P{|X-Y|<1}增加。