题目

设A是三阶矩阵,有特征值 (lambda )_(1)=1, (lambda )_(2)=-2 (lambda )_(3)=3, 对应的特征向量分别是 (xi )_(1)=([ 1,-2,1] )^T-|||-(xi )_(2)=([ 1,0,-1] )^T (xi )_(3)=([ 1,1,1] )^T, beta =[ 3,-1,1] }^T, 求A^100β

题目解答

答案

解析

本题考查矩阵特征值与特征向量的性质以及矩阵幂运算的相关知识。解题的关键思路是先将向量$\beta$用矩阵$A$的特征向量线性表示，再利用特征值与特征向量的性质$A^n\xi = \lambda^n\xi$（其中$\lambda$是特征值，$\xi$是对应的特征向量）来计算$A^{100}\beta$。

  1. 将向量$\beta$用特征向量线性表示：
    设$\beta = x_1\xi_1 + x_2\xi_2 + x_3\xi_3$，即$\begin{bmatrix}3\\ -1\\ 1\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$，可得到方程组$\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 3\\ -2x_1 + x_3 = -1\\ x_1 - x_2 + x_3 = 1\end{cases}$。
    • 用第一个方程$x_1 + x_2 + x_3 = 3$减去第三个方程$x_1 - x_2 + x_3 = 1$，可得：
      $(x_1 + x_2 + x_3)-(x_1 - x_2 + x_3)=3 - 1$，即$2x_2 = 2$，解得$x_2 = 1$。
    • 将$x_2 = 1$代入第一个方程$x_1 + x_2 + x_3 = 3$，得到$x_1 + x_3 = 2$。
    • 联立方程$\begin{cases}x_1 + x_3 = 2\\ -2x_1 + x_3 = -1\end{cases}$，用第一个方程减去第二个方程消去$x_3$，可得：
      $(x_1 + x_3)-(-2x_1 + x_3)=2 - (-1)$，即$3x_1 = 3$，解得$x_1 = 1$。
    • 将$x_1 = 1$代入$x_1 + x_3 = 2$，可得$1 + x_3 = 2$，解得$x_3 = 1$。
      所以$[x_1,x_2,x_3]=[1,1,1]$，即$\beta = \xi_1 + \xi_2 + \xi_3$。
  2. 计算$A^{100}\beta$：
    因为$\beta = \xi_1 + \xi_2 + \xi_3$，所以$A^{100}\beta = A^{100}(\xi_1 + \xi_2 + \xi_3)$。
    根据矩阵乘法分配律可得$A^{100}(\xi_1 + \xi_2 + \xi_3)=A^{100}\xi_1 + A^{100}\xi_2 + A^{100}\xi_3$。
    由特征值与特征向量的性质$A^n\xi = \lambda^n\xi$，已知$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = -2$，$\lambda_3 = 3$，则$A^{100}\xi_1 = \lambda_1^{100}\xi_1 = 1^{100}\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 1\end{bmatrix}$，$A^{100}\xi_2 = \lambda_2^{100}\xi_2 = (-2)^{100}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2^{100}\\ 0\\ -2^{100}\end{bmatrix}$，$A^{100}\xi_3 = \lambda_3^{100}\xi_3 = 3^{100}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3^{100}\\ 3^{100}\\ 3^{100}\end{bmatrix}$。
    所以$A^{100}\beta = A^{100}\xi_1 + A^{100}\xi_2 + A^{100}\xi_3=\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2^{100}\\ 0\\ -2^{100}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3^{100}\\ 3^{100}\\ 3^{100}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 + 2^{100} + 3^{100}\\ -2 + 3^{100}\\ 1 - 2^{100} + 3^{100}\end{bmatrix}$。