设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_n 是来自 X 的样本，则 sigma^2 的最大似然估计量是（ ）.A. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2D. overline(X)^2

我们来逐步解决这个题目： --- ### **题目分析：** 已知总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，即总体服从正态分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。 从总体中抽取样本 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $，我们要找出 **方差 $\sigma^2$ 的最大似然估计量（MLE）**。 --- ### **步骤 1：写出似然函数** 正态分布的密度函数为： $$ f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) $$ 似然函数 $ L(\mu, \sigma^2) $ 是样本的联合密度函数： $$ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \mu, \sigma^2) = \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \right)^n \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \right) $$ 取对数似然函数： $$ \ell(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2} \log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 $$ --- ### **步骤 2：对 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 分别求最大值** 我们先对 $\mu$ 求最大值，固定 $\sigma^2$： 对 $\mu$ 求偏导并令其为 0： $$ \frac{\partial \ell}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n (X_i - \mu) = 0 \Rightarrow \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X} $$ 所以，$\mu$ 的最大似然估计是样本均值 $\overline{X}$。 --- ### **步骤 3：将 $\mu = \overline{X}$ 代入，对 $\sigma^2$ 求最大值** 将 $\mu = \overline{X}$ 代入对数似然函数： $$ \ell(\sigma^2) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2} \log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $$ 对 $\sigma^2$ 求导： $$ \frac{d\ell}{d\sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $$ 令导数为 0： $$ -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = 0 \Rightarrow \frac{1}{(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \frac{n}{\sigma^2} \Rightarrow \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = n \sigma^2 \Rightarrow \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $$ --- ### **结论：** 所以，$\sigma^2$ 的最大似然估计量是： $$ \boxed{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 } $$ --- ### **答案：** $$ \boxed{A} $$