2.某厂生产灯泡的合格率为0.6.-|||-(1)利用切比雪夫不等式,估计10000个灯泡中,合格灯泡数在 approx 6100 之间的-|||-概率;-|||-(2)利用中心极限定理,计算(1)中的概率.
题目解答
答案
解析
本题主要考察切比雪夫不等式和中心极限定理在二项分布概率估计中的应用，具体解析如下：
（1）利用切比雪夫不等式估计概率
题目中，10000个灯泡的合格数$X$服从二项分布$B(n,p)$，其中$n=10000$，$p=0.6$。
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计算期望与方差：
二项分布的期望$E(X)=np=10000\times0.6=6000$，
方差$D(X)=np(1-p)=10000\times0.6\times0.4=2400$，标准差$\sigma=\sqrt{2400}\approx48.99$。 -
转化事件范围：
合格数在$5900\sim6100$之间，即$|X-6000|\leq100$，等价于$|X-E(X)|\leq\varepsilon$，其中$\varepsilon=100$。 -
应用切比雪夫不等式：
切比雪夫不等式：$P(|X-E(X)|\leq\varepsilon)\geq1-\frac{D(X)}{\varepsilon^2}$，
代入得：$P(5900\leq X\leq6100)\geq1-\frac{2400}{100^2}=1-0.24=0.76$。
（2）利用中心极限定理计算概率
对于二项分布$B(n,p)$，当$n$较大时，可近似为正态分布$N(np,np(1-p))$，即$X\sim N(6000,2400)$。
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标准化：
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，其中$\mu=6000$，$\sigma=\sqrt{2400}\approx48.99$。
则$P(5900\leq X\leq6100)=P\left(\frac{5900-6000}{48.99}\leq Z\leq\frac{6100-6000}{48.99}\right)=P(-2.04\leq Z\leq2.04)$。 -
查标准正态分布表：
$P(-2.04\leq Z\leq2.04)=\varPhi(2.04)-\varPhi(-2.04)=2\varPhi(2.04)-1\approx2\times0.9793-1=0.9586$。