题目
设随机变量 X sim N(mu, sigma^2), Y sim N(mu, sigma^2), 且设X,Y相互独立,则 Z_1 = alpha X + beta Y, Z_2 = alpha X - beta Y 的相关系数(其中 alpha, beta 是不为零的常数)等于()。A. (alpha - beta)/(alpha + beta)B. (alpha^2 - beta^2)/(alpha^2 + beta^2)C. (alpha^2 + beta^2)/(alpha^2 - beta^2)D. (alpha + beta)/(alpha - beta)
设随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$, 且设X,Y相互独立,则 $Z_1 = \alpha X + \beta Y$, $Z_2 = \alpha X - \beta Y$ 的相关系数(其中 $\alpha, \beta$ 是不为零的常数)等于()。
A. $\frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta}$
B. $\frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}$
C. $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 - \beta^2}$
D. $\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}$
题目解答
答案
B. $\frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}$
解析
步骤 1：计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的协方差
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，则有：
\[ \text{Cov}(Z_1, Z_2) = \text{Cov}(\alpha X + \beta Y, \alpha X - \beta Y) = \alpha^2 \text{Var}(X) - \beta^2 \text{Var}(Y) = (\alpha^2 - \beta^2) \sigma^2 \]
步骤 2：计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的方差
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，则有：
\[ \text{Var}(Z_1) = \text{Var}(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 \text{Var}(X) + \beta^2 \text{Var}(Y) = (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2 \]
\[ \text{Var}(Z_2) = \text{Var}(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 \text{Var}(X) + \beta^2 \text{Var}(Y) = (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2 \]
步骤 3：计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的相关系数
根据相关系数的定义，有：
\[ \rho_{Z_1, Z_2} = \frac{\text{Cov}(Z_1, Z_2)}{\sqrt{\text{Var}(Z_1) \text{Var}(Z_2)}} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2) \sigma^2}{(\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2} \]
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，则有：
\[ \text{Cov}(Z_1, Z_2) = \text{Cov}(\alpha X + \beta Y, \alpha X - \beta Y) = \alpha^2 \text{Var}(X) - \beta^2 \text{Var}(Y) = (\alpha^2 - \beta^2) \sigma^2 \]
步骤 2：计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的方差
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，则有：
\[ \text{Var}(Z_1) = \text{Var}(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 \text{Var}(X) + \beta^2 \text{Var}(Y) = (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2 \]
\[ \text{Var}(Z_2) = \text{Var}(\alpha X - \beta Y) = \alpha^2 \text{Var}(X) + \beta^2 \text{Var}(Y) = (\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2 \]
步骤 3：计算 $Z_1$ 和 $Z_2$ 的相关系数
根据相关系数的定义，有：
\[ \rho_{Z_1, Z_2} = \frac{\text{Cov}(Z_1, Z_2)}{\sqrt{\text{Var}(Z_1) \text{Var}(Z_2)}} = \frac{(\alpha^2 - \beta^2) \sigma^2}{(\alpha^2 + \beta^2) \sigma^2} = \frac{\alpha^2 - \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2} \]