八、(12分)(1)已知随机变量Z~N(0,1)，写出Z²分布密度函数;(2)已知Z_(0.05)^2(1)=3.841，求z_(0.025) (保留两位小数)(3)已知X~N(μ,1)，抽25个零件长度平均值为40cm，求μ的置信度1-α=0.95的置信区间.

1. 第（1）题：考查标准正态变量平方的分布。关键点在于理解标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布，并写出其密度函数。
2. 第（2）题：利用卡方分布与标准正态分布的关系，通过已知的卡方分位数反推标准正态分位数。核心思路是建立卡方分位数与标准正态分位数的平方关系。
3. 第（3）题：求总体均值的置信区间。关键步骤包括确定使用Z区间、计算标准误、查找分位数并代入公式。

第（1）题

分布类型判断

标准正态变量$Z \sim N(0,1)$，其平方$Z^2$服从自由度为1的卡方分布，即$Z^2 \sim \chi^2(1)$。

密度函数公式

卡方分布的密度函数为：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^{-x/2}, \quad x > 0$

第（2）题

关系推导

已知$\chi^2_{0.05}(1) = 3.841$，即：
$P(Z^2 > 3.841) = 0.05$
由于$Z^2$的分布是对称平方关系，可得：
$P(Z > \sqrt{3.841}) = 0.025 \quad \text{或} \quad P(Z < -\sqrt{3.841}) = 0.025$
因此，$z_{0.025} = \sqrt{3.841} \approx 1.96$。

第（3）题

确定置信区间公式

总体方差已知时，均值$\mu$的置信区间为：
$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中$\bar{X}=40$，$\sigma=1$，$n=25$，$1-\alpha=0.95$对应$z_{0.025}=1.96$。

计算区间

标准误为$\frac{1}{\sqrt{25}} = 0.2$，边际误差为$1.96 \times 0.2 = 0.392$，故置信区间为：
$40 \pm 0.392 \quad \Rightarrow \quad (39.61, 40.39)$