题目

设X1,X2是来自总体X1,X2的样本，设X1,X2，则X1,X2.A.4B.8C.16D.20E.32

设 $X_1,X_2$ 是来自总体 $X\sim N(0,2)$ 的样本，设 $T=X_1^2+X_2^2$ ，则 $E(T^2)=\left(\ \ \ \right)$ .

A.4

B.8

C.16

D.20

E.32

题目解答

答案

$X\sim N(0,2)$ 表示总体X服从参数为 $\mu=0,\sigma=\sqrt{2}$ 的正态分布，来自总体的样本 $X_1,X_2$ 相互独立且都服从总体X的分布，则 $X_i\sim N(0,2),i=1,2$ ，则 $\frac{X_i}{\sqrt{2}}\sim N(0,1),\left(\frac{X_i}{\sqrt{2}}\right)^2\sim\chi^2(1),i=1,2$ ，则 $\left(\frac{X_1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{X_2}{\sqrt{2}}\right)^2\sim\chi^2(2)$ ，则 $\frac{X_1^2}{2}+\frac{X_2^2}{2}\sim\chi^2(2)$ ，则 $\frac{T}{2}=\frac{X_1^2+X_2^2}{2}\sim\chi^2\left(2\right)$ ，则 $E\left(\frac{T}{2}\right)=2,D\left(\frac{T}{2}\right)=4$ ，则 $E\left(\frac{T}{2}\right)=\frac{1}{2}E\left(T\right)=2,D\left(\frac{T}{2}\right)=\frac{1}{4}D\left(T\right)=4$ ，则 $E\left(T\right)=4,D\left(T\right)=16$ ， $E(T^2)=E^2\left(T\right)+D\left(T\right)=4^2+16=32$ ，因此选择E。

解析

步骤 1：确定总体分布
$X\sim N(0,2)$表示总体X服从参数为$\mu =0$ $\sigma =\sqrt {2}$的正态分布，来自总体的样本X1,X2相互独立且都服从总体X的分布，则${X}_{i}\sim N(0,2)$ $\hat {z}=1,2$。

步骤 2：转换为标准正态分布
则$\dfrac {{X}_{i}}{\sqrt {2}}\sim N(0,1)$ ${(\dfrac {{X}_{i}}{\sqrt {2}})}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$ $\hat {i}=1,2$，则${(\dfrac {{X}_{1}}{\sqrt {2}})}^{2}+{(\dfrac {{X}_{2}}{\sqrt {2}})}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，则$\dfrac {{{X}_{1}}^{2}}{2}+\dfrac {{{X}_{2}}^{2}}{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，则$\dfrac {T}{2}=\dfrac {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}}{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。

步骤 3：计算期望和方差
则$E(\dfrac {T}{2})=2$, $D(\dfrac {T}{2})=4$，则$E(\dfrac {T}{2})=\dfrac {1}{2}E(T)=2$ $D(\dfrac {T}{2})=\dfrac {1}{4}D(T)=4$，则$E(I)=4$, D(T)=16，$E({T}^{2})={E}^{2}(T)+D(T)={4}^{2}+16=32$。