题目

已知曲线的极坐标方程为r=1-cos theta ，求该曲线对应于theta =dfrac(pi )(6)处的切线与法线的直角坐标方程.

已知曲线的极坐标方程为$r=1-\cos \theta $，求该曲线对应于$\theta =\dfrac{\pi }{6}$处的切线与法线的直角坐标方程.

题目解答

答案

$\because \left\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{array}\right.$，$r=1-\cos \theta$

$\therefore $曲线方程转化为：

$\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta -\cos ^{2}\theta \\y=\sin \theta -\sin \theta \cos \theta \end{array}\right.$

由$\theta =\dfrac{\pi }{6}$，得切点坐标$(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}$，$\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{4})$

而$\dfrac{dy}{dx}|_{\theta =\frac{\pi }{6}}=\left(\dfrac{dy}{d\theta }/\dfrac{dx}{d\theta }\right)|_{\theta =\frac{\pi }{6}}=\dfrac{\cos \theta -\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{-\sin \theta +2\cos \theta \sin \theta }|_{\theta =\frac{\pi }{6}}=1$

因此由点斜式得：

切线方程$y-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=x-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}\right)$

法线方程$y-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=-x+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{4}\right)$

化简得：

切线方程$x-y-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{5}{4}=0$

法线方程$x+y-\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{1}{4}=0$

解析

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程求导以及切线与法线方程的求解。解题思路如下：

  1. 首先，根据极坐标与直角坐标的转换公式$\left\{\begin{array}{l}x = r\cos\theta\\y = r\sin\theta\end{array}\right.$，将给定的极坐标方程$r = 1 - \cos\theta$转化为参数方程。
    • 把$r = 1 - \cos\theta$代入$x = r\cos\theta$，可得$x=(1 - \cos\theta)\cos\theta=\cos\theta-\cos^{2}\theta$。
    • 把$r = 1 - \cos\theta$代入$y = r\sin\theta$，可得$y=(1 - \cos\theta)\sin\theta=\sin\theta-\sin\theta\cos\theta$。
    • 所以曲线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos\theta-\cos^{2}\theta\\y=\sin\theta-\sin\theta\cos\theta\end{array}\right.$。
  2. 然后，将$\theta=\frac{\pi}{6}$代入参数方程，求出切点的直角坐标。
    • 当$\theta=\frac{\pi}{6}$时，$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\theta=\frac{1}{2}$。
    • $x=\cos\theta-\cos^{2}\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}$。
    • $y=\sin\theta-\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$。
    • 所以切点坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4},\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})$。
  3. 接着，根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$，求出$\frac{dy}{dx}$在$\theta=\frac{\pi}{6}$处的值，此值即为切线的斜率。
    • 先对$x=\cos\theta-\cos^{2}\theta$求导，根据求导公式$(\cos\theta)^\prime=-\sin\theta$，$(\cos^{2}\theta)^\prime = 2\cos\theta(-\sin\theta)$，可得$\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta + 2\cos\theta\sin\theta$。
    • 再对$y=\sin\theta-\sin\theta\cos\theta$求导，根据求导公式$(\sin\theta)^\prime=\cos\theta$，$(\sin\theta\cos\theta)^\prime=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$，可得$\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta-(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)=\cos\theta-\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta$。
    • 则$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{\cos\theta-\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{-\sin\theta + 2\cos\theta\sin\theta}$。
    • 将$\theta=\frac{\pi}{6}$代入$\frac{dy}{dx}$，$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，可得：
      • $\frac{dy}{dx}\big|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}{-\frac{1}{2}+2\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$，即切线的斜率$k = 1$。
    • 因为法线与切线垂直，所以法线的斜率$k_{法}=-\frac{1}{k}=-1$。
  4. 最后，利用点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)$为切点坐标，$k$为斜率）分别求出切线方程和法线方程，并化简。
    • 切线方程：$y-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}) = 1\times[x-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4})]$，即$y-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})=x-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4})$。
      • 移项可得$x - y-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4})+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}) = 0$。
      • 进一步化简得$x - y-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{4}=0$。
    • 法线方程：$y-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})=-1\times[x-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4})]$，即$y-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})=-x+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4})$。
      • 移项可得$x + y-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4})+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}) = 0$。
      • 进一步化简得$x + y-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}=0$。