题目
3-1 设X是均值a=0，方差sigma^2=1的高斯随机变量，试确定随机变量Y=cX+d的概率密度函数f(y)，其中c，d均为常数且c>0。
3-1 设X是均值a=0，方差$\sigma^{2}=1$的高斯随机变量，试确定随机变量Y=cX+d的概率密度函数f(y)，其中c，d均为常数且c>0。
题目解答
答案
已知 $X$ 是均值为0，方差为1的高斯随机变量，其概率密度函数为：
\[
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
\]
对于线性变换 $Y = cX + d$（其中 $c > 0$），利用高斯分布的性质，$Y$ 仍为高斯随机变量，其均值和方差分别为：
\[
E[Y] = d, \quad \text{Var}(Y) = c^2
\]
因此，$Y$ 的概率密度函数为：
\[
f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_Y} e^{-\frac{(y - \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi} c} e^{-\frac{(y - d)^2}{2c^2}}
\]
或者表示为：
\[
\boxed{\frac{1}{c\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y - d)^2}{2c^2}}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查高斯分布（正态分布）在线性变换下的性质，以及如何通过变量替换法求解变换后的概率密度函数。
解题核心思路：
- 高斯分布的闭合性：线性变换后的随机变量仍服从高斯分布。
- 均值与方差的计算：根据线性变换的性质，直接计算新变量的均值和方差。
- 概率密度函数的变量替换：通过导数的绝对值（雅可比行列式）调整原变量的密度函数。
破题关键点：
- 线性变换的性质：若 $X \sim \mathcal{N}(0,1)$，则 $Y = cX + d$ 的均值为 $d$，方差为 $c^2$。
- 变量替换公式：$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y-d}{c}\right) \cdot \frac{1}{c}$。
已知 $X \sim \mathcal{N}(0,1)$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$
对 $Y = cX + d$（$c > 0$）进行分析：
步骤1：计算均值和方差
- 均值：
$E[Y] = E[cX + d] = cE[X] + d = c \cdot 0 + d = d$ - 方差：
$\text{Var}(Y) = \text{Var}(cX + d) = c^2 \text{Var}(X) = c^2 \cdot 1 = c^2$
步骤2：确定高斯分布参数
由于 $Y$ 仍服从高斯分布，其概率密度函数为：
$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_Y} e^{-\frac{(y - \mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$
其中 $\mu_Y = d$，$\sigma_Y^2 = c^2$，即 $\sigma_Y = c$。
步骤3：代入参数
将 $\mu_Y$ 和 $\sigma_Y$ 代入公式：
$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot c} e^{-\frac{(y - d)^2}{2c^2}}$