简述中心极限定理的意义。

中心极限定理是概率论与数理统计中的核心概念，其考查要点在于理解大量独立随机变量之和的分布规律及其实际意义。解题时需抓住以下关键点：

1. 核心思想：无论原始数据分布如何，独立随机变量的平均值或总和在样本量足够大时近似正态分布。
2. 理论贡献：连接概率论与统计学，为正态分布在统计推断中的广泛应用奠定基础。
3. 实际应用：解释自然现象（如身高、考试成绩等）为何呈现钟形曲线，并为抽样调查、误差分析等提供理论依据。

定理内容

中心极限定理指出：若从任意分布（均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$）中独立抽取容量为$n$的样本，则当$n$足够大时，样本均值$\bar{X}$的分布近似服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。

理论意义

1. 统一性：无论原始数据服从何种分布（如二项分布、指数分布等），其平均值或总和的分布均趋近于正态分布。
2. 正态分布的核心地位：使正态分布成为统计推断的基础工具（如置信区间、假设检验）。

实际应用

1. 解释自然现象：许多自然群体（如生物学、社会科学数据）的经验分布呈现钟形曲线，可用中心极限定理解释为大量微小独立因素叠加的结果。
2. 简化计算：通过正态分布的性质，可快速计算独立随机变量之和的概率，无需考虑原始分布的具体形式。