1.1.4 第3章一元函数微分学的概念 第15题设f(x)=lim_(ntoinfty)(x^2e^n(x-1)+ax+b)/(5+e^n(x-1))，求f(x)，并讨论f(x)的连续性及可导性与a,b的关系.

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 1, \\ \frac{ax + b}{5} & x < 1, \\ \frac{1 + a + b}{6} & x = 1. \end{cases} \] **连续性条件：** \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{a + b}{5}, \quad f(1) = \frac{1 + a + b}{6} \] 需满足： \[ \frac{1 + a + b}{6} = 1 \implies a + b = 5 \] **可导性条件：** 右导数： \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = 2 \] 左导数： \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{a(1+h) + b}{5} - 1}{h} = \frac{a}{5} \] 需满足： \[ 2 = \frac{a}{5} \implies a = 10, \quad b = 5 - a = -5 \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{ll} f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 1, \\ \frac{ax + b}{5} & x < 1, \\ \frac{1 + a + b}{6} & x = 1, \end{cases} & \text{连续： } a + b = 5, \\ & \text{可导： } a = 10, b = -5. \end{array} } \]