从正态总体 N(52, 6.3^2) 中随机抽取容量为 36 的样本，求样本均值 overline(X) 落在 50.8 到 53.8 之间的概率。

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于先确定样本均值的分布，再将其转化为标准正态分布，最后利用标准正态分布表计算概率。

1. 确定样本均值的分布：
   • 已知总体$X\sim N(52, 6.3^2)$，样本容量$n = 36$。
   • 根据正态分布的性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，从中抽取容量为$n$的样本，则样本均值$\overline{X}$服从正态分布$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
   • 在此题中，$\mu = 52$，$\sigma = 6.3$，$n = 36$，所以样本均值$\overline{X}$服从正态分布$N\left(52, \left(\frac{6.3}{\sqrt{36}}\right)^2\right)$。
   • 计算$\frac{6.3}{\sqrt{36}}=\frac{6.3}{6}=1.05$，即$\overline{X}\sim N(52, 1.05^2)$。
2. 将区间转化为标准正态分布：
   • 设$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，则$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
   • 对于下限$50.8$，计算$Z_1 = \frac{50.8 - 52}{1.05}$，$50.8 - 52=-1.2$，则$Z_1=\frac{-1.2}{1.05}\approx -1.1429$。
   • 对于上限$53.8$，计算$Z_2 = \frac{53.8 - 52}{1.05}$，$53.8 - 52 = 1.8$，则$Z_2=\frac{1.8}{1.05}\approx 1.7143$。
   • 所以$P(50.8\leq\overline{X}\leq53.8)=P(-1.1429\leq Z\leq1.7143)$。
3. 利用标准正态分布表计算概率：
   • 根据标准正态分布的性质$P(-1.1429\leq Z\leq1.7143)=P(Z\leq1.7143)-P(Z\leq - 1.1429)$。
   • 查标准正态分布表可得$P(Z\leq1.71)\approx0.9564$，$P(Z\leq - 1.14)\approx0.1271$。
   • 则$P(-1.1429\leq Z\leq1.7143)\approx0.9564 - 0.1271 = 0.8293$。