已知随机变量的分布律为：（1）求，并的分布函数？（2）求

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律性质、分布函数的构造方法，以及期望与方差的计算。

解题核心思路：

1. 利用概率和为1求未知参数：根据离散型随机变量所有可能取值的概率之和为1，可求出参数$a$。
2. 分段构建分布函数：分布函数$F(x)$是随机变量$X$取值小于等于$x$的概率，需根据$x$的不同取值区间分段讨论。
3. 期望与方差公式应用：直接代入公式计算期望$E(X)$和方差$D(X)$。

破题关键点：

• 参数$a$的确定：通过概率和为1的性质直接求解。
• 分布函数的分段性：明确每个区间对应的累积概率。
• 期望与方差的公式：注意方差需先计算$E(X^2)$再减去$[E(X)]^2$。

第（1）题：求$a$和分布函数$F(x)$

求参数$a$

根据离散型随机变量概率和为1的性质：
$0.2 + 0.3 + a = 1 \implies a = 1 - 0.2 - 0.3 = 0.5$

构造分布函数$F(x)$

分布函数$F(x) = P(X \leq x)$，需分区间讨论：

1. 当$x < 1$时：$P(X \leq x) = 0$（无取值小于1）。
2. 当$1 \leq x < 2$时：$P(X \leq x) = P(X=1) = 0.2$。
3. 当$2 \leq x < 3$时：$P(X \leq x) = P(X=1) + P(X=2) = 0.2 + 0.3 = 0.5$。
4. 当$x \geq 3$时：$P(X \leq x) = 1$（所有概率已包含）。

综上，分布函数为：
$F(x) = \begin{cases}0, & x < 1 \\0.2, & 1 \leq x < 2 \\0.5, & 2 \leq x < 3 \\1, & x \geq 3\end{cases}$

第（2）题：求期望$E(X)$和方差$D(X)$

计算期望$E(X)$

$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3$

计算方差$D(X)$

1. 先求$E(X^2)$：
   $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 1^2 \times 0.2 + 2^2 \times 0.3 + 3^2 \times 0.5 = 0.2 + 1.2 + 4.5 = 5.9$
2. 再求方差：
   $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 5.9 - (2.3)^2 = 5.9 - 5.29 = 0.61$