题目
【例】某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取了100件作为样本，测得平均使用寿命1245小时，标准差300小时。能否说该厂生产的电子元件质量显著地高于规定标准？（α=0.05）
【例】某电子元件批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时。某厂宣称他们采用一种新工艺生产的元件质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取了100件作为样本，测得平均使用寿命1245小时，标准差300小时。能否说该厂生产的电子元件质量显著地高于规定标准？（α=0.05）
题目解答
答案
1. **假设检验：**
$H_0: \mu \leq 1200$（不高于标准），$H_1: \mu > 1200$（高于标准）。
2. **计算Z统计量：**
\[
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{1245 - 1200}{300 / \sqrt{100}} = 1.5
\]
3. **确定临界值：**
$\alpha = 0.05$，单侧检验，$Z_{0.05} = 1.645$。
4. **比较Z值与临界值：**
$Z = 1.5 < 1.645$，不拒绝$H_0$。
**结论：**
不能说该厂生产的电子元件质量显著高于规定标准。
\[
\boxed{\text{不能说该厂生产的电子元件质量显著地高于规定标准。}}
\]
解析
步骤 1：假设检验
我们首先设定原假设$H_0$和备择假设$H_1$。原假设$H_0$表示该厂生产的电子元件平均使用寿命不超过1200小时，即$H_0: \mu \leq 1200$。备择假设$H_1$表示该厂生产的电子元件平均使用寿命超过1200小时，即$H_1: \mu > 1200$。
步骤 2：计算Z统计量
根据样本数据，样本平均值$\bar{x} = 1245$小时，样本标准差$s = 300$小时，样本容量$n = 100$。计算Z统计量的公式为$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$，其中$\mu_0 = 1200$小时。代入数据，得到$Z = \frac{1245 - 1200}{300 / \sqrt{100}} = \frac{45}{30} = 1.5$。
步骤 3：确定临界值
给定显著性水平$\alpha = 0.05$，进行单侧检验，查标准正态分布表得到临界值$Z_{0.05} = 1.645$。
步骤 4：比较Z值与临界值
比较计算得到的Z统计量$Z = 1.5$与临界值$Z_{0.05} = 1.645$。由于$Z = 1.5 < 1.645$，我们不拒绝原假设$H_0$。
我们首先设定原假设$H_0$和备择假设$H_1$。原假设$H_0$表示该厂生产的电子元件平均使用寿命不超过1200小时，即$H_0: \mu \leq 1200$。备择假设$H_1$表示该厂生产的电子元件平均使用寿命超过1200小时，即$H_1: \mu > 1200$。
步骤 2：计算Z统计量
根据样本数据，样本平均值$\bar{x} = 1245$小时，样本标准差$s = 300$小时，样本容量$n = 100$。计算Z统计量的公式为$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$，其中$\mu_0 = 1200$小时。代入数据，得到$Z = \frac{1245 - 1200}{300 / \sqrt{100}} = \frac{45}{30} = 1.5$。
步骤 3：确定临界值
给定显著性水平$\alpha = 0.05$，进行单侧检验，查标准正态分布表得到临界值$Z_{0.05} = 1.645$。
步骤 4：比较Z值与临界值
比较计算得到的Z统计量$Z = 1.5$与临界值$Z_{0.05} = 1.645$。由于$Z = 1.5 < 1.645$，我们不拒绝原假设$H_0$。