题目

8.填空题 alpha=(1,2,3)^T,beta=(-2,0,1)^T,则alpha^Tbeta= 第1空：____

8.填空题 $\alpha=(1,2,3)^{T},\beta=(-2,0,1)^{T}$,则$\alpha^{T}\beta=$ 第1空：____

题目解答

答案

为了求解 $\alpha^T \beta$，我们首先需要计算向量 $\alpha$ 的转置。向量 $\alpha$ 是一个列向量，即 $\alpha = (1, 2, 3)^T$。它的转置 $\alpha^T$ 是一个行向量，即 $\alpha^T = (1, 2, 3)$。 接下来，我们计算 $\alpha^T \beta$。根据矩阵乘法的规则，行向量乘以列向量的结果是一个标量。具体计算如下： \[ \alpha^T \beta = (1, 2, 3) \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = -2 + 0 + 3 = 1 \] 因此，$\alpha^T \beta$ 的值是 $\boxed{1}$。

解析

本题主要考察向量的转置与向量内积（数量积）的计算。核心知识点是：列向量的转置是行向量，行向量与列向量的乘积（矩阵乘法）结果为标量，计算方式是对应分量相乘后求和。

具体步骤：

  1. 计算向量α的转置：
    已知α是列向量$\alpha=(1,2,3)^T$，其转置$\alpha^T$为行向量：$\alpha^T=(1,2,3)$。

  2. 计算行向量α⁻ᵀ与列向量β的乘积：
    根据矩阵乘法规则，行向量$(a_1,a_2,a_3)$与列向量$(b_1,b_2,b_3)$的乘积为$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$。
    代入α⁻ᵀ=(1,2,3)和β=(-2,0,1)⁻ᵀ，得：
    $\alpha^T\beta=1\times(-2)+2\times0+3\times1=-2+0+3=1$