题目
设随机变量X,Y相互独立,X~N (0,1),Y~N (0,4),U=X+Y,V=X-Y,求(1)E(XY);(2)D(U),D(V);(3)Cov(U,V).
设随机变量X,Y相互独立,X~N (0,1),Y~N (0,4),U=X+Y,V=X-Y,求(1)E(XY);(2)D(U),D(V);(3)Cov(U,V).
题目解答
答案
(1)0 (2)5,5 (3)-3
解析
步骤 1：计算E(XY)
由于X和Y相互独立，根据期望的性质，E(XY) = E(X)E(Y)。由于X~N(0,1)，Y~N(0,4)，则E(X) = 0，E(Y) = 0，因此E(XY) = 0 * 0 = 0。
步骤 2：计算D(U)和D(V)
根据方差的性质，D(U) = D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)。由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此D(U) = D(X) + D(Y) = 1 + 4 = 5。同理，D(V) = D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y) = 1 + 4 = 5。
步骤 3：计算Cov(U,V)
根据协方差的性质，Cov(U,V) = Cov(X+Y,X-Y) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)。由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = Cov(Y,X) = 0，因此Cov(U,V) = D(X) - D(Y) = 1 - 4 = -3。
由于X和Y相互独立，根据期望的性质，E(XY) = E(X)E(Y)。由于X~N(0,1)，Y~N(0,4)，则E(X) = 0，E(Y) = 0，因此E(XY) = 0 * 0 = 0。
步骤 2：计算D(U)和D(V)
根据方差的性质，D(U) = D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)。由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此D(U) = D(X) + D(Y) = 1 + 4 = 5。同理，D(V) = D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y) = 1 + 4 = 5。
步骤 3：计算Cov(U,V)
根据协方差的性质，Cov(U,V) = Cov(X+Y,X-Y) = Cov(X,X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)。由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = Cov(Y,X) = 0，因此Cov(U,V) = D(X) - D(Y) = 1 - 4 = -3。