题目
5.判断题设X_(1),X_(2),...,X_(n)独立同分布，且E(X_(k))=mu,D(X_(k))=sigma^2,k=1,2,…,n，则当n充分大时，(frac(1)/(n)sum_{k=1)^nX_(k)-mu}(sigma/sqrt(n))近似地N(0,1).A. 对B. 错
5.判断题
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$独立同分布，且$E(X_{k})=\mu,D(X_{k})=\sigma^{2},$k=1,2,…,n，则当n充分大时，$\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$近似地$N(0,1).$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义样本均值
样本均值$\bar{X}$定义为所有观测值的平均值，即$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k$。
步骤 2：计算样本均值的期望
根据期望的性质，样本均值的期望$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E(X_k) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu$。
步骤 3：计算样本均值的方差
根据方差的性质，样本均值的方差$D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} D(X_k) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。
步骤 4：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当$n$充分大时，样本均值$\bar{X}$近似地服从正态分布$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，标准化变量$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$近似地服从标准正态分布$N(0,1)$。
样本均值$\bar{X}$定义为所有观测值的平均值，即$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k$。
步骤 2：计算样本均值的期望
根据期望的性质，样本均值的期望$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E(X_k) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu$。
步骤 3：计算样本均值的方差
根据方差的性质，样本均值的方差$D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} D(X_k) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。
步骤 4：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当$n$充分大时，样本均值$\bar{X}$近似地服从正态分布$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。因此，标准化变量$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$近似地服从标准正态分布$N(0,1)$。