解答题设函数u=f(ln√x²+y²)，满足(partial^2u)/(partial x^2)+(partial^2u)/(partial y^2)=(x^2+y^2)^(3)/(2)，且极限lim_(xto0)(int_(0)^1f(xt)dt)/(x)=-1，试求函数f(x)的表达式.

考查要点：本题主要考查二阶偏微分方程的求解以及极限条件的应用。关键在于通过变量替换将偏微分方程转化为常微分方程，并结合积分和极限条件确定待定常数。

解题思路：

1. 变量替换：令 $t = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$，将原方程中的偏导数转化为关于 $t$ 的导数。
2. 方程简化：利用拉普拉斯算子的性质，将偏微分方程转化为关于 $f''(t)$ 的常微分方程。
3. 积分求解：对常微分方程积分两次，得到 $f(t)$ 的一般表达式。
4. 极限条件：通过泰勒展开和极限分析，确定积分常数 $C_1$ 和 $C_2$。

变量替换与方程转化

令 $t = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$，则 $x^2 + y^2 = e^{2t}$。原方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = (x^2 + y^2)^{3/2}$ 右侧化简为 $e^{3t}$。

计算拉普拉斯算子

对 $u = f(t)$ 求偏导：

• $\frac{\partial u}{\partial x} = f'(t) \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = f'(t) \cdot e^{-2t} x$
• $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f''(t) \cdot e^{-4t} x^2 + f'(t) \cdot e^{-2t} \left( e^{-2t} - \frac{2x^2}{x^2 + y^2} \right)$

同理，$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ 的形式类似。通过计算可得：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f''(t) \cdot e^{-2t}$

建立常微分方程

根据题意，$f''(t) \cdot e^{-2t} = e^{3t}$，解得：
$f''(t) = e^{5t}$

积分求解

两次积分得：
$f(t) = \frac{1}{25} e^{5t} + C_1 t + C_2$

应用极限条件

将 $f(xt)$ 代入积分并展开：
$\int_0^1 f(xt) \, dt = \frac{e^{5x} - 1}{125x} + \frac{C_1 x}{2} + C_2$
除以 $x$ 后取极限 $x \to 0$，通过泰勒展开分析得：

• $C_2 = -\frac{1}{25}$
• $C_1 = -\frac{11}{5}$