题目
为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ,测量10个灯泡,得 overline (x)=-|||-1500 h, ^*=20h, 如果灯泡的使用时数服从正态分布,求μ和σ的双侧95%的-|||-置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算均值μ的置信区间
- 由于灯泡使用时数服从正态分布，且样本量较小（n=10），我们使用t分布来计算均值μ的置信区间。
- 根据t分布的性质，有 $\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)$ ，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，S是样本标准差，n是样本量。
- 由此，我们得到 $P(|\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{S}|\leqslant t_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1))=1-\alpha $ ，其中 $t_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1)$ 是t分布的临界值。
- 代入样本观测值 $\overline {x}=1500$ ， ${s}^{*}=20$ ，n=10，以及 $t_{0.975}(9)=2.262$ ，我们得到μ的双侧95%置信区间为 $[1500-2.262\times \dfrac {20}{\sqrt {10}},1500+2.262\times \dfrac {20}{\sqrt {10}}]$ ，即为[1485.69,1514.31]。
步骤 2：计算标准差σ的置信区间
- 由于 ${\sigma }^{2}={S}^{*2}$ 是σ^2的无偏估计，且有 $\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {x}^{2}(n-1)$ ，其中 ${S}^{2}$ 是样本方差，n是样本量。
- 由此，我们得到 $P({x}_{\frac {\alpha }{2}}(n-1)\leqslant \dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant {x}_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1))=1-\alpha $ ，其中 ${x}_{\frac {\alpha }{2}}(n-1)$ 和 ${x}_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1)$ 是卡方分布的临界值。
- 代入样本观测值 ${s}^{*}=20$ ，n=10，以及 ${x}_{0.025}(9)=2.7$ 和 ${x}_{0.975}(9)=19.023$ ，我们得到σ^2的双侧95%置信区间为 $[ \dfrac {9\times {20}^{2}}{19.023},\dfrac {9\times {20}^{2}}{2.7}]$ ，即为[189.24,1333.33]。
- 因此，σ的双侧95%置信区间为 $[ \sqrt {189.24},\sqrt {1333.33}]$ ，即为[13.76,36.51]。
- 由于灯泡使用时数服从正态分布，且样本量较小（n=10），我们使用t分布来计算均值μ的置信区间。
- 根据t分布的性质，有 $\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)$ ，其中 $\overline {X}$ 是样本均值，S是样本标准差，n是样本量。
- 由此，我们得到 $P(|\dfrac {\sqrt {n}(\overline {X}-\mu )}{S}|\leqslant t_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1))=1-\alpha $ ，其中 $t_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1)$ 是t分布的临界值。
- 代入样本观测值 $\overline {x}=1500$ ， ${s}^{*}=20$ ，n=10，以及 $t_{0.975}(9)=2.262$ ，我们得到μ的双侧95%置信区间为 $[1500-2.262\times \dfrac {20}{\sqrt {10}},1500+2.262\times \dfrac {20}{\sqrt {10}}]$ ，即为[1485.69,1514.31]。
步骤 2：计算标准差σ的置信区间
- 由于 ${\sigma }^{2}={S}^{*2}$ 是σ^2的无偏估计，且有 $\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {x}^{2}(n-1)$ ，其中 ${S}^{2}$ 是样本方差，n是样本量。
- 由此，我们得到 $P({x}_{\frac {\alpha }{2}}(n-1)\leqslant \dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant {x}_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1))=1-\alpha $ ，其中 ${x}_{\frac {\alpha }{2}}(n-1)$ 和 ${x}_{1-\frac {\alpha }{2}}(n-1)$ 是卡方分布的临界值。
- 代入样本观测值 ${s}^{*}=20$ ，n=10，以及 ${x}_{0.025}(9)=2.7$ 和 ${x}_{0.975}(9)=19.023$ ，我们得到σ^2的双侧95%置信区间为 $[ \dfrac {9\times {20}^{2}}{19.023},\dfrac {9\times {20}^{2}}{2.7}]$ ，即为[189.24,1333.33]。
- 因此，σ的双侧95%置信区间为 $[ \sqrt {189.24},\sqrt {1333.33}]$ ，即为[13.76,36.51]。