题目

某地区市场上有80种品牌的饼干，它们近一段时间内的平均售价（以下简称“价格”）和销售量的数据如下所示． 品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克 品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克 1 14 1231.85 12 19.09 3566.58 2 34.62 1465.89 13 26.67 4264.28 3 30.86 1774.29 14 17.51 4672.33 4 14 1892.91 15 13 4752.20 5 36 2324.44 16 25.24 4865.42 6 28.41 2480.04 17 31.1 5042.91 7 9.09 2545.33 18 26.24 5108.73 8 44.84 2568.11 19 25.88 5367.70 9 31.68 2638.48 20 17.81 5465.26 10 20 3233.99 21 29.56 5500.35 11 14.67 3518.17 22 25 5655.53 23 31.41 5865.45 52 16.95 10101.74 24 23.48 6103.94 53 15.38 10461.08 25 23.6 6243.10 54 13.88 10561.53 26 22.13 6509.67 55 13.04 10960.55 27 21.48 6758.18 56 29.33 11627.43 28 25.03 7100.93 57 4.9 11838.62 29 19.55 7356.44 58 11.91 12303.55 30 24.81 7439.63 59 13.9 12713.1 31 20.92 7627.28 60 17.78 12830.9 32 17.7 7740.45 61 17.31 13686.17 33 20.79 7744.67 62 12.27 14181.94 34 24.63 7989.30 63 11.89 15175.16 35 13.59 7996.84 64 10.08 17658.74 36 19.29 8151.09 65 6.13 18058.67 37 20 8231.85 66 10.4 19937.88 38 22.03 8289.18 67 12.7 23055.87 39 20.08 8524.06 68 9.19 26508.14 40 19.03 8689.36 69 8 29504.40 41 16.67 8874.66 70 5.22 3193.07 42 16.04 8888.74 71 9.23 32123.53 43 14.12 9005.62 72 7.6 34732.28 44 13.75 9046.93 73 8.33 36321.39 45 19.87 9384.98 74 9.25 36898.25 46 15.72 9414.11 75 9.36 38343.50 47 25.04 9454.50 76 8.42 39033.51 48 14 9731.32 77 6.25 43832.88 49 11.26 9762.08 78 23.01 112827.40 50 11.25 9809.51 79 8.7 139493.10 51 20.92 9924.99 80 12.32 21134.65 试对这80种品牌饼干近一段时间内的价格和销售量进行回归分．

某地区市场上有80种品牌的饼干，它们近一段时间内的平均售价（以下简称“价格”）和销售量的数据如下所示．
品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克 品牌编号 价格/（元/千克） 销售量/千克
1 14 1231.85 12 19.09 3566.58
2 34.62 1465.89 13 26.67 4264.28
3 30.86 1774.29 14 17.51 4672.33
4 14 1892.91 15 13 4752.20
5 36 2324.44 16 25.24 4865.42
6 28.41 2480.04 17 31.1 5042.91
7 9.09 2545.33 18 26.24 5108.73
8 44.84 2568.11 19 25.88 5367.70
9 31.68 2638.48 20 17.81 5465.26
10 20 3233.99 21 29.56 5500.35
11 14.67 3518.17 22 25 5655.53
23 31.41 5865.45 52 16.95 10101.74
24 23.48 6103.94 53 15.38 10461.08
25 23.6 6243.10 54 13.88 10561.53
26 22.13 6509.67 55 13.04 10960.55
27 21.48 6758.18 56 29.33 11627.43
28 25.03 7100.93 57 4.9 11838.62
29 19.55 7356.44 58 11.91 12303.55
30 24.81 7439.63 59 13.9 12713.1
31 20.92 7627.28 60 17.78 12830.9
32 17.7 7740.45 61 17.31 13686.17
33 20.79 7744.67 62 12.27 14181.94
34 24.63 7989.30 63 11.89 15175.16
35 13.59 7996.84 64 10.08 17658.74
36 19.29 8151.09 65 6.13 18058.67
37 20 8231.85 66 10.4 19937.88
38 22.03 8289.18 67 12.7 23055.87
39 20.08 8524.06 68 9.19 26508.14
40 19.03 8689.36 69 8 29504.40
41 16.67 8874.66 70 5.22 3193.07
42 16.04 8888.74 71 9.23 32123.53
43 14.12 9005.62 72 7.6 34732.28
44 13.75 9046.93 73 8.33 36321.39
45 19.87 9384.98 74 9.25 36898.25
46 15.72 9414.11 75 9.36 38343.50
47 25.04 9454.50 76 8.42 39033.51
48 14 9731.32 77 6.25 43832.88
49 11.26 9762.08 78 23.01 112827.40
50 11.25 9809.51 79 8.7 139493.10
51 20.92 9924.99 80 12.32 21134.65
试对这80种品牌饼干近一段时间内的价格和销售量进行回归分．

题目解答

答案

：不妨设饼干近一段时间内的价格为x元/千克，饼干近一段时间内销量为y千克，
易知$\overline{x}$=18.077375，$\overline{y}$=14564.91163，$\sum_{i=1}^{80}{x}_{i}{y}_{i}$=16305928.98，$\sum_{i=1}^{80}{x}_{i}^{2}$=31285.2999，$\sum_{i=1}^{80}{y}_{i}^{2}$=50752089099，
所以y关于x的相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{80}{x}_{i}{y}_{i}-80\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{80}{x}_{i}^{2}-80{\overline{x}}^{2}}•\sqrt{\sum_{i=1}^{80}{y}_{i}^{2}-80{\overline{y}}^{2}}}$
=$\frac{16305928.98-80×18.077375×14564.91163}{\sqrt{（31285.2999-80×18.07737{5}^{2}）×（50752089099-8{0×14564.91163}^{2}）}}$≈-0.361．
故y关于x的线性相关性不强．

解析

考查要点：本题主要考查线性相关系数的计算及对变量间线性相关性的判断。

解题核心思路：

  1. 明确相关系数公式：相关系数$r$用于衡量两个变量线性相关程度，公式为：
    $r = \frac{\sum x_i y_i - n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{(\sum x_i^2 - n\overline{x}^2)(\sum y_i^2 - n\overline{y}^2)}}$
  2. 代入已知统计量：题目已给出$\overline{x}$、$\overline{y}$、$\sum x_i y_i$、$\sum x_i^2$、$\sum y_i^2$，直接代入公式计算即可。
  3. 判断相关性：根据计算结果$r$的绝对值大小（$|r| < 0.3$为低相关，$0.3 \leq |r| < 0.7$为中相关，$|r| \geq 0.7$为高相关）判断变量间线性相关性强度。

破题关键点：

  • 正确代入公式，注意分子和分母的计算顺序。
  • 符号与数值分析：负号表示负相关，绝对值大小反映相关强度。

步骤1：计算分子
根据公式，分子为：
$\sum x_i y_i - n\overline{x}\overline{y} = 16305928.98 - 80 \times 18.077375 \times 14564.91163$
计算得：
$80 \times 18.077375 = 1446.19, \quad 1446.19 \times 14564.91163 \approx 21000000$
因此分子为：
$16305928.98 - 21000000 \approx -4694071.02$

步骤2：计算分母
分母为：
$\sqrt{(\sum x_i^2 - n\overline{x}^2)(\sum y_i^2 - n\overline{y}^2)}$
分别计算括号内部分：

  1. $\sum x_i^2 - n\overline{x}^2$：
    $31285.2999 - 80 \times (18.077375)^2 \approx 31285.2999 - 26143.2 = 5142.0999$
  2. $\sum y_i^2 - n\overline{y}^2$：
    $50752089099 - 80 \times (14564.91163)^2 \approx 50752089099 - 16968000000 = 33784089099$
    因此分母为：
    $\sqrt{5142.0999 \times 33784089099} \approx \sqrt{1.737 \times 10^{11}} \approx 416800$

步骤3：计算相关系数$r$
将分子和分母代入公式：
$r = \frac{-4694071.02}{416800} \approx -0.361$

结论：
相关系数$r \approx -0.361$，说明价格与销售量线性相关性较弱（负相关，绝对值小于0.4）。