题目

一、单选题（共30题，60.0分）题型说明：四个选项中只有一个是正确的19.（单选题，2.0分）lim_(xto0)xcot2x 等于（）.A 0B 1C 2D (1)/(2)

一、单选题（共30题，60.0分） 题型说明：四个选项中只有一个是正确的 19.（单选题，2.0分） $\lim_{x\to0}x\cot2x$ 等于（）. A 0 B 1 C 2 D $\frac{1}{2}$

题目解答

答案

\[ \lim_{x \to 0} x \cot 2x = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{\sin 2x} \] 利用等价无穷小 $\sin 2x \sim 2x$（当 $x \to 0$）： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x \cos 2x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \] 因此，正确答案为 $\boxed{D}$。

解析

本题考查函数极限的计算，解题思路是先将余切函数转化为正余弦函数的形式，再利用等价无穷小替换简化极限表达式，最后求出极限值。

  1. 将余切函数转化为正余弦函数形式：
    已知$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$，所以$\cot2x = \frac{\cos2x}{\sin2x}$，则原式$\lim_{x\to0}x\cot2x$可转化为$\lim_{x\to0}x\cdot\frac{\cos2x}{\sin2x}$，即$\lim_{x\to0}\frac{x\cos2x}{\sin2x}$。
  2. 利用等价无穷小替换：
    当$x\to0$时，$\sin2x\sim2x$（等价无穷小的定义：在某一过程中，$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是无穷小量，且$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小，记为$\alpha(x)\sim\beta(x)$）。
    将$\sin2x$用$2x$替换，得到$\lim_{x\to0}\frac{x\cos2x}{2x}$。
  3. 化简并计算极限：
    对$\lim_{x\to0}\frac{x\cos2x}{2x}$进行化简，分子分母同时约去$x$，得到$\lim_{x\to0}\frac{\cos2x}{2}$。
    因为$\cos2x$在$x\to0$时是连续函数，所以$\lim_{x\to0}\cos2x=\cos(2\times0)=\cos0 = 1$，则$\lim_{x\to0}\frac{\cos2x}{2}=\frac{1}{2}$。