题目
设随机变量_(1),(X)_(2),(X)_(3)相互独立，_(1),(X)_(2),(X)_(3)，令_(1),(X)_(2),(X)_(3)，则_(1),(X)_(2),(X)_(3).A.48B.36C.55D.16
设随机变量
相互独立，
，令
，则
.
A.48
B.36
C.55
D.16
题目解答
答案
表示
服从参数
的正态分布，则
，
表示
服从区间
上的均匀分布，则
，
表示
服从参数
的泊松分布，则
，
，
随机变量相互独立，则随机变量之间的协方差为零，则
，则
，因此选择A。
解析
步骤 1：确定各随机变量的期望和方差
- ${X}_{1}\sim N(2,4)$，表示服从参数$u=2$，${\sigma }^{2}=4$的正态分布，则$E({X}_{1})=\mu =2$，$D({X}_{1})={\sigma }^{2}=4$。
- ${X}_{2}\sim U(2,4)$，表示服从区间(2,4)上的均匀分布，则$E({X}_{2})=\dfrac {2+4}{2}=3$，$D({X}_{2})=\dfrac {{(4-2)}^{2}}{12}=\dfrac {1}{3}$。
- ${X}_{3}\sim \pi (2)$，表示服从参数$\lambda =2$的泊松分布，则$E({X}_{3})=\lambda =2$，$D({X}_{3})=\lambda =2$。
步骤 2：计算Y的期望
- $E(Y)=E(1-\dfrac {1}{2}{X}_{1}+3{X}_{2}-{X}_{3})=1-\dfrac {1}{2}E({X}_{1})+3E({X}_{2})-E({X}_{3})=1-\dfrac {1}{2}\times 2+3\times 3-2=7$。
步骤 3：计算Y的方差
- 随机变量X1,X2,X3相互独立，则随机变量之间的协方差为零，则$D(Y)=D(1-\dfrac {1}{2}{X}_{1}+3{X}_{2}-{X}_{3})=\dfrac {1}{4}D({X}_{1})+9D({X}_{2})+D({X}_{3})=\dfrac {1}{4}\times 4+9\times \dfrac {1}{3}+2=6$。
步骤 4：计算$E({Y}^{2})$
- $E({Y}^{2})=D(Y)+{E}^{2}(Y)=6+7\times 7=48$。
- ${X}_{1}\sim N(2,4)$，表示服从参数$u=2$，${\sigma }^{2}=4$的正态分布，则$E({X}_{1})=\mu =2$，$D({X}_{1})={\sigma }^{2}=4$。
- ${X}_{2}\sim U(2,4)$，表示服从区间(2,4)上的均匀分布，则$E({X}_{2})=\dfrac {2+4}{2}=3$，$D({X}_{2})=\dfrac {{(4-2)}^{2}}{12}=\dfrac {1}{3}$。
- ${X}_{3}\sim \pi (2)$，表示服从参数$\lambda =2$的泊松分布，则$E({X}_{3})=\lambda =2$，$D({X}_{3})=\lambda =2$。
步骤 2：计算Y的期望
- $E(Y)=E(1-\dfrac {1}{2}{X}_{1}+3{X}_{2}-{X}_{3})=1-\dfrac {1}{2}E({X}_{1})+3E({X}_{2})-E({X}_{3})=1-\dfrac {1}{2}\times 2+3\times 3-2=7$。
步骤 3：计算Y的方差
- 随机变量X1,X2,X3相互独立，则随机变量之间的协方差为零，则$D(Y)=D(1-\dfrac {1}{2}{X}_{1}+3{X}_{2}-{X}_{3})=\dfrac {1}{4}D({X}_{1})+9D({X}_{2})+D({X}_{3})=\dfrac {1}{4}\times 4+9\times \dfrac {1}{3}+2=6$。
步骤 4：计算$E({Y}^{2})$
- $E({Y}^{2})=D(Y)+{E}^{2}(Y)=6+7\times 7=48$。