9. (5.0分) 若随机变量X服从均值为2，方差为σ²的正态分布，且P(2<4)=0.4，求P(X<0)=（）

为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质和给定的信息。让我们一步步来分析。 1. **识别给定信息：** - 随机变量 $ X $ 服从均值为 $ \mu = 2 $ 和方差为 $ \sigma^2 $ 的正态分布。 - 概率 $ P\{2 < X < 4\} = 0.4 $。 2. **标准化正态分布：** - 正态分布的标准化公式为 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $，其中 $ Z $ 服从标准正态分布（均值为0，方差为1）。 - 对于 $ X = 2 $，标准化值为 $ Z_1 = \frac{2 - 2}{\sigma} = 0 $。 - 对于 $ X = 4 $，标准化值为 $ Z_2 = \frac{4 - 2}{\sigma} = \frac{2}{\sigma} $。 3. **使用给定概率：** - 给定 $ P\{2 < X < 4\} = 0.4 $，可以重写为 $ P\{0 < Z < \frac{2}{\sigma}\} = 0.4 $。 - 由于标准正态分布关于0对称，$ P\{0 < Z < \frac{2}{\sigma}\} = P\{Z < \frac{2}{\sigma}\} - P\{Z < 0\} $。 - 我们知道 $ P\{Z < 0\} = 0.5 $（因为标准正态分布的均值为0）。 - 因此，$ P\{Z < \frac{2}{\sigma}\} - 0.5 = 0.4 $，简化为 $ P\{Z < \frac{2}{\sigma}\} = 0.9 $。 4. **找到对应的Z值：** - 从标准正态分布表中，我们发现 $ P\{Z < 1.28\} \approx 0.9 $。 - 因此，$ \frac{2}{\sigma} \approx 1.28 $，解出 $ \sigma $ 得到 $ \sigma \approx \frac{2}{1.28} \approx 1.5625 $。 5. **求 $ P\{X < 0\} $：** - 对于 $ X = 0 $，标准化值为 $ Z_3 = \frac{0 - 2}{\sigma} = \frac{-2}{\sigma} \approx \frac{-2}{1.5625} \approx -1.28 $。 - 我们需要找到 $ P\{Z < -1.28\} $。由于标准正态分布的对称性，$ P\{Z < -1.28\} = 1 - P\{Z < 1.28\} \approx 1 - 0.9 = 0.1 $。 因此，$ P\{X < 0\} $ 的值是 $\boxed{0.1}$。