12.设x_(1),x_(2),...,x_(n),x_(n+1)是来自N(mu,sigma^2)的样本，overline(x)_(n)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i),s_(n)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(x_(i)-overline(x)_(n))^2，试求常数c使得t_(c)=c(x_(n+1)-overline(x)_(n))/(s)服从t分布，并指出分布的自由度.

由题意，$x_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\overline{x}_n \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，且 $\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。由于 $x_{n+1}$、$\overline{x}_n$ 与 $s_n^2$ 相互独立，故 $x_{n+1} - \overline{x}_n \sim N(0, \frac{n+1}{n}\sigma^2)$。
构造统计量：
$t = \frac{(x_{n+1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n+1}{n}\sigma^2}}{s_n / \sigma} = \frac{(x_{n+1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{s_n}$
令 $c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$，则：
$t_c = c \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n} = \frac{(x_{n+1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{s_n} \sim t(n-1)$
因此，当 $c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$ 时，$t_c$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

答案：
常数 $c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$，自由度为 $n-1$。