题目

12.设x_(1),x_(2),...,x_(n),x_(n+1)是来自N(mu,sigma^2)的样本，overline(x)_(n)=(1)/(n)sum_(i=1)^nx_(i),s_(n)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(x_(i)-overline(x)_(n))^2，试求常数c使得t_(c)=c(x_(n+1)-overline(x)_(n))/(s)服从t分布，并指出分布的自由度.

12.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},x_{n+1}$是来自$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\overline{x}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i},s_{n}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x}_{n})^{2}$，试求常数c使得$t_{c}=c\frac{x_{n+1}-\overline{x}_{n}}{s}$服从t分布，并指出分布的自由度.

题目解答

答案

由题意，$x_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\overline{x}_n \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，且 $\frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。由于 $x_{n+1}$、$\overline{x}_n$ 与 $s_n^2$ 相互独立，故 $x_{n+1} - \overline{x}_n \sim N(0, \frac{n+1}{n}\sigma^2)$。
构造统计量：
$t = \frac{(x_{n+1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n+1}{n}\sigma^2}}{s_n / \sigma} = \frac{(x_{n+1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{s_n}$
令 $c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$，则：
$t_c = c \frac{x_{n+1} - \overline{x}_n}{s_n} = \frac{(x_{n+1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n+1}{n}}}{s_n} \sim t(n-1)$
因此，当 $c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$ 时，$t_c$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。

答案：
常数 $c = \sqrt{\frac{n}{n+1}}$，自由度为 $n-1$。

解析

本题考查正态分布、卡方分布以及t分布的性质和构造，解题的关键在于利用已知样本的分布性质，通过标准化和独立变量的组合来构造出符合t分布定义的统计量。

  1. 确定$x_{n + 1}$、$\overline{x}_n$和$s_n^2$的分布：
    • 已知$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},x_{n+1}$是来自$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，根据正态分布的性质，单个样本$x_{n + 1}$服从$N(\mu, \sigma^2)$。
    • 对于样本均值$\overline{x}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，由于独立正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布，且$E(\overline{x}_n)=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_{i})=\frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu$，$D(\overline{x}_n)=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(x_{i})=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$，所以$\overline{x}_n \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
    • 又因为样本方差$s_{n}^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x}_{n})^{2}$，根据抽样分布的性质，$\frac{(n - 1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$。
    • 同时，$x_{n + 1}$、$\overline{x}_n$与$s_n^2$相互独立。
  2. 求$x_{n + 1} - \overline{x}_n$的分布：
    • 由于$x_{n + 1}$和$\overline{x}_n$都服从正态分布且相互独立，根据正态分布的性质，两个独立正态分布随机变量的差仍服从正态分布。
    • $E(x_{n + 1} - \overline{x}_n)=E(x_{n + 1}) - E(\overline{x}_n)=\mu - \mu = 0$。
    • $D(x_{n + 1} - \overline{x}_n)=D(x_{n + 1}) + D(\overline{x}_n)=\sigma^2 + \frac{\sigma^2}{n}=\frac{n + 1}{n}\sigma^2$。
    • 所以$x_{n + 1} - \overline{x}_n \sim N(0, \frac{n + 1}{n}\sigma^2)$。
  3. 对$x_{n + 1} - \overline{x}_n$进行标准化：
    • 设$Z=\frac{x_{n + 1} - \overline{x}_n}{\sqrt{\frac{n + 1}{n}\sigma^2}}$，根据正态分布的标准化公式，若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，所以$Z\sim N(0,1)$。
  4. 构造t分布统计量：
    • 已知$\frac{(n - 1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，根据t分布的定义：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim \chi^2(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
    • 令$Y = \frac{(n - 1)s_n^2}{\sigma^2}$，$n$为自由度$n - 1$，则$t = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n - 1}}}=\frac{\frac{x_{n + 1} - \overline{x}_n}{\sqrt{\frac{n + 1}{n}\sigma^2}}}{\sqrt{\frac{\frac{(n - 1)s_n^2}{\sigma^2}}{n - 1}}}$。
    • 化简上式：
      $\begin{align*}t&=\frac{\frac{x_{n + 1} - \overline{x}_n}{\sqrt{\frac{n + 1}{n}\sigma^2}}}{\sqrt{\frac{s_n^2}{\sigma^2}}}\\&=\frac{\frac{x_{n + 1} - \overline{x}_n}{\sqrt{\frac{n + 1}{n}\sigma^2}}}{\frac{s_n}{\sigma}}\\&=\frac{(x_{n + 1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n + 1}{n}}}{s_n}\end{align*}$
  5. 确定常数$c$：
    • 已知$t_{c}=c\frac{x_{n+1}-\overline{x}_{n}}{s_n}$，要使其服从t分布，对比$t = \frac{(x_{n + 1} - \overline{x}_n) / \sqrt{\frac{n + 1}{n}}}{s_n}$，可得$c = \sqrt{\frac{n}{n + 1}}$，此时$t_c \sim t(n - 1)$，即自由度为$n - 1$。