题目
设f(x)映[a,b]为自身,且-|||-|f(x)-f(y)|leqslant |x-y|. (1)-|||-任取 _(1)in [ a,b] , 令-|||-_(n+1)=dfrac (1)(2)[ (x)_(n)+f((x)_(n))] . (2)-|||-求证数列有极限 x^4, * 满足方程 ((x)^n)=(x)^n
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明数列 $\{x_n\}$ 有界
由于 $f(x)$ 映 $[a,b]$ 为自身，即 $f(x) \in [a,b]$ 对于所有 $x \in [a,b]$，因此对于任意 $x_n \in [a,b]$，有 $f(x_n) \in [a,b]$。根据定义 ${x}_{n+1}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})]$，可以得出 ${x}_{n+1}$ 也是 $[a,b]$ 中的元素，因此数列 $\{x_n\}$ 有界。
步骤 2：证明数列 $\{x_n\}$ 单调
考虑 ${x}_{n+1}-{x}_{n}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})]-{x}_{n}=\dfrac {1}{2}[f({x}_{n})-{x}_{n}]$。根据条件 $|f(x)-f(y)|\leqslant |x-y|$，可以得出 $f(x)$ 是一个Lipschitz连续函数，且Lipschitz常数为1。因此，$f(x)$ 是连续的。如果 ${x}_{1}\leqslant f({x}_{1})$，则 ${x}_{2}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{1}+f({x}_{1})] \geqslant {x}_{1}$。假设 ${x}_{n-1}\leqslant {x}_{n}$，则 $f({x}_{n-1})-f({x}_{n})\leqslant {x}_{n-1}-{x}_{n}$，从而 ${x}_{n}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n-1}+f({x}_{n-1})] \leqslant \dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})] ={x}_{n+1}$。因此，数列 $\{x_n\}$ 单调递增。同理，如果 ${x}_{1}\geqslant f({x}_{1})$，则数列 $\{x_n\}$ 单调递减。
步骤 3：证明数列 $\{x_n\}$ 收敛
由于数列 $\{x_n\}$ 有界且单调，根据单调有界原理，数列 $\{x_n\}$ 收敛。设其极限为 ${x}^{*}$，则有 ${x}^{*}=\lim_{n\to\infty}x_n$。将 ${x}^{*}$ 代入 ${x}_{n+1}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})]$，得到 ${x}^{*}=\dfrac {1}{2}[ {x}^{*}+f({x}^{*})]$，从而 $f({x}^{*})={x}^{*}$。
由于 $f(x)$ 映 $[a,b]$ 为自身，即 $f(x) \in [a,b]$ 对于所有 $x \in [a,b]$，因此对于任意 $x_n \in [a,b]$，有 $f(x_n) \in [a,b]$。根据定义 ${x}_{n+1}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})]$，可以得出 ${x}_{n+1}$ 也是 $[a,b]$ 中的元素，因此数列 $\{x_n\}$ 有界。
步骤 2：证明数列 $\{x_n\}$ 单调
考虑 ${x}_{n+1}-{x}_{n}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})]-{x}_{n}=\dfrac {1}{2}[f({x}_{n})-{x}_{n}]$。根据条件 $|f(x)-f(y)|\leqslant |x-y|$，可以得出 $f(x)$ 是一个Lipschitz连续函数，且Lipschitz常数为1。因此，$f(x)$ 是连续的。如果 ${x}_{1}\leqslant f({x}_{1})$，则 ${x}_{2}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{1}+f({x}_{1})] \geqslant {x}_{1}$。假设 ${x}_{n-1}\leqslant {x}_{n}$，则 $f({x}_{n-1})-f({x}_{n})\leqslant {x}_{n-1}-{x}_{n}$，从而 ${x}_{n}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n-1}+f({x}_{n-1})] \leqslant \dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})] ={x}_{n+1}$。因此，数列 $\{x_n\}$ 单调递增。同理，如果 ${x}_{1}\geqslant f({x}_{1})$，则数列 $\{x_n\}$ 单调递减。
步骤 3：证明数列 $\{x_n\}$ 收敛
由于数列 $\{x_n\}$ 有界且单调，根据单调有界原理，数列 $\{x_n\}$ 收敛。设其极限为 ${x}^{*}$，则有 ${x}^{*}=\lim_{n\to\infty}x_n$。将 ${x}^{*}$ 代入 ${x}_{n+1}=\dfrac {1}{2}[ {x}_{n}+f({x}_{n})]$，得到 ${x}^{*}=\dfrac {1}{2}[ {x}^{*}+f({x}^{*})]$，从而 $f({x}^{*})={x}^{*}$。