设X和Y为两个相互独立的随机变量,已知X~U(2,4) ,Y~N(1,4),则E(XY) =______,D(X-Y)=______

考查要点：本题主要考查独立随机变量的期望与方差性质，以及均匀分布和正态分布的期望与方差计算。

解题核心思路：

1. 期望的线性性质：对于独立随机变量，乘积的期望等于期望的乘积。
2. 方差的性质：独立随机变量加减后的方差等于各自方差之和。
3. 分布参数计算：均匀分布和正态分布的期望与方差公式。

破题关键点：

• 识别分布类型：明确X服从均匀分布U(2,4)，Y服从正态分布N(1,4)。
• 独立性应用：利用独立性简化协方差项，直接相加方差。

1. 计算E(XY)

步骤1：计算E(X)

• X服从均匀分布U(2,4)，期望公式为：
  $E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

步骤2：计算E(Y)

• Y服从正态分布N(1,4)，期望即均值μ：
  $E(Y) = 1$

步骤3：利用独立性求E(XY)

• 因为X与Y独立，乘积的期望为：
  $E(XY) = E(X) \cdot E(Y) = 3 \times 1 = 3$

2. 计算D(X - Y)

步骤1：计算D(X)

• 均匀分布U(2,4)的方差公式为：
  $D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{(4 - 2)^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

步骤2：计算D(Y)

• 正态分布N(1,4)的方差为参数σ²：
  $D(Y) = 4$

步骤3：利用独立性求D(X - Y)

• 因为X与Y独立，方差相加：
  $D(X - Y) = D(X) + D(Y) = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$