题目
设总体 X 的均值为 mu，方差为 sigma^2，(X_1, ..., X_n) 为来自该的样本，则在下列估计量中哪些为 mu 的无偏估计A. hat(mu)_1 = X_1B. hat(mu)_4 = (1)/(3) X_1 + (2)/(3) X_2C. hat(mu)_3 = (1)/(3) (X_1 + X_2 + X_3)D. hat(mu)_2 = (1)/(2) X_1 + (1)/(3) X_2 + (1)/(6) X_3
设总体 $X$ 的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，$(X_1, \cdots, X_n)$ 为来自该的样本，则在下列估计量中哪些为 $\mu$ 的无偏估计
A. $\hat{\mu}_1 = X_1$
B. $\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3} X_1 + \frac{2}{3} X_2$
C. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$
D. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3$
题目解答
答案
ABCD
A. $\hat{\mu}_1 = X_1$
B. $\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3} X_1 + \frac{2}{3} X_2$
C. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$
D. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3$
A. $\hat{\mu}_1 = X_1$
B. $\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3} X_1 + \frac{2}{3} X_2$
C. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$
D. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3$
解析
步骤 1：计算 $\hat{\mu}_1$ 的期望值
$\hat{\mu}_1 = X_1$，因此 $E(\hat{\mu}_1) = E(X_1) = \mu$，所以 $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
步骤 2：计算 $\hat{\mu}_4$ 的期望值
$\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3} X_1 + \frac{2}{3} X_2$，因此 $E(\hat{\mu}_4) = \frac{1}{3} E(X_1) + \frac{2}{3} E(X_2) = \frac{1}{3} \mu + \frac{2}{3} \mu = \mu$，所以 $\hat{\mu}_4$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
步骤 3：计算 $\hat{\mu}_3$ 的期望值
$\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$，因此 $E(\hat{\mu}_3) = \frac{1}{3} (E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3} (3\mu) = \mu$，所以 $\hat{\mu}_3$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
步骤 4：计算 $\hat{\mu}_2$ 的期望值
$\hat{\mu}_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3$，因此 $E(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{2} E(X_1) + \frac{1}{3} E(X_2) + \frac{1}{6} E(X_3) = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\mu = \mu$，所以 $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
$\hat{\mu}_1 = X_1$，因此 $E(\hat{\mu}_1) = E(X_1) = \mu$，所以 $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
步骤 2：计算 $\hat{\mu}_4$ 的期望值
$\hat{\mu}_4 = \frac{1}{3} X_1 + \frac{2}{3} X_2$，因此 $E(\hat{\mu}_4) = \frac{1}{3} E(X_1) + \frac{2}{3} E(X_2) = \frac{1}{3} \mu + \frac{2}{3} \mu = \mu$，所以 $\hat{\mu}_4$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
步骤 3：计算 $\hat{\mu}_3$ 的期望值
$\hat{\mu}_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$，因此 $E(\hat{\mu}_3) = \frac{1}{3} (E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3} (3\mu) = \mu$，所以 $\hat{\mu}_3$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
步骤 4：计算 $\hat{\mu}_2$ 的期望值
$\hat{\mu}_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3$，因此 $E(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{2} E(X_1) + \frac{1}{3} E(X_2) + \frac{1}{6} E(X_3) = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\mu = \mu$，所以 $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计。