题目

计算题（共5题，100.0分）1.（20.0分）某种彩电按规定无故障时间为10000小时。厂家采取措施改进后，现在从新批量彩电中抽取100台，测得样本平均无故障时间为10150小时，标准差为400小时，在显著性水平0.05下，判断该批彩电的无故障时间是否有显著提高。

计算题（共5题，100.0分） 1.（20.0分）某种彩电按规定无故障时间为10000小时。厂家采取措施改进后，现在从新批量彩电中抽取100台，测得样本平均无故障时间为10150小时，标准差为400小时，在显著性水平0.05下，判断该批彩电的无故障时间是否有显著提高。

题目解答

答案

为了判断该批彩电的无故障时间是否有显著提高，我们需要进行假设检验。具体步骤如下： 1. **提出假设：** - 零假设 $ H_0 $：$\mu = 10000$（该批彩电的无故障时间没有显著提高） - 备择假设 $ H_1 $：$\mu > 10000$（该批彩电的无故障时间有显著提高） 2. **确定显著性水平：** - $\alpha = 0.05$ 3. **计算检验统计量：** - 检验统计量为 $ Z $ - 公式： $ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $ - 其中，$\bar{X} = 10150$，$\mu_0 = 10000$，$\sigma = 400$， $ n = 100 $ - 代入数据： $ Z = \frac{10150 - 10000}{400 / \sqrt{100}} = \frac{150}{40} = 3.75 $ 4. **确定临界值：** - 由于是单侧检验（备择假设为 $\mu > 10000$），在 $\alpha = 0.05$ 时，临界值 $ Z_{\alpha} = 1.645 $ 5. **比较检验统计量与临界值：** - 检验统计量 $ Z = 3.75 $ - 临界值 $ Z_{\alpha} = 1.645 $ - $ Z > Z_{\alpha} $ 6. **做出结论：** - 由于 $ Z $ 大于 $ Z_{\alpha} $，拒绝零假设 $ H_0 $ 因此，该批彩电的无故障时间有显著提高。答案是 $\boxed{该批彩电的无故障时间有显著提高}$。

解析

考查要点：本题主要考查单样本均值的Z检验，用于判断改进措施后彩电的无故障时间是否有显著提高。
解题核心思路：

  1. 假设检验的基本框架：明确原假设与备择假设的方向（单侧检验）。
  2. 检验统计量的计算：利用样本均值、总体均值、样本标准差和样本量计算Z值。
  3. 临界值比较：根据显著性水平确定临界值，判断检验统计量是否超出临界范围。
    破题关键：
  • 单侧检验的选择：因题目要求“显著提高”，备择假设为$\mu > 10000$。
  • Z检验的适用条件：样本量较大（$n=100$），可用样本标准差代替总体标准差。

1. 提出假设

  • 原假设（$H_0$）：改进后无故障时间无显著提高，即$\mu = 10000$。
  • 备择假设（$H_1$）：改进后无故障时间有显著提高，即$\mu > 10000$。

2. 确定显著性水平

  • 显著性水平$\alpha = 0.05$，对应单侧检验的临界值$Z_{\alpha} = 1.645$。

3. 计算检验统计量

公式：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
代入数据：

  • $\bar{X} = 10150$，$\mu_0 = 10000$，$\sigma = 400$，$n = 100$
  • 计算得：
    $Z = \frac{10150 - 10000}{400 / \sqrt{100}} = \frac{150}{40} = 3.75$

4. 确定临界值

  • 单侧检验临界值$Z_{\alpha} = 1.645$。

5. 比较与结论

  • 检验统计量$Z = 3.75 > Z_{\alpha} = 1.645$，拒绝原假设。
  • 结论：改进措施使无故障时间有显著提高。