题目
曲线在点 ( 1 , 1 ) 处的法线方程为（ ）A..B..C.y=-2x+3D.y=2x
曲线
在点 ( 1 , 1 ) 处的法线方程为（ ）
A.
.
B.
.
C.y=-2x+3
D.y=2x
题目解答
答案
∵曲线.
∴
.
∴在点 ( 1 , 1 ) 处的切线斜率为
.
∵切线斜率与法线斜率相乘等于-1，
∴在点 ( 1 , 1 ) 处的法线斜率为-2
∵点(1,1)在法线斜率上，
∴y-1=-2(x-1)
即y=-2x+3
故答案为：C
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出给定曲线$y=\sqrt{x}$的导数。根据导数的定义，$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。
步骤 2：计算切线斜率
在点(1,1)处，将x=1代入导数表达式，得到切线斜率$k_{切}=y'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：计算法线斜率
由于切线斜率与法线斜率的乘积为-1，因此法线斜率$k_{法}=-\dfrac{1}{k_{切}}=-2$。
步骤 4：求法线方程
已知法线斜率$k_{法}=-2$，且法线通过点(1,1)，根据点斜式方程$y-y_1=k(x-x_1)$，代入点(1,1)和斜率-2，得到法线方程$y-1=-2(x-1)$，化简得$y=-2x+3$。
首先，我们需要求出给定曲线$y=\sqrt{x}$的导数。根据导数的定义，$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。
步骤 2：计算切线斜率
在点(1,1)处，将x=1代入导数表达式，得到切线斜率$k_{切}=y'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$。
步骤 3：计算法线斜率
由于切线斜率与法线斜率的乘积为-1，因此法线斜率$k_{法}=-\dfrac{1}{k_{切}}=-2$。
步骤 4：求法线方程
已知法线斜率$k_{法}=-2$，且法线通过点(1,1)，根据点斜式方程$y-y_1=k(x-x_1)$，代入点(1,1)和斜率-2，得到法线方程$y-1=-2(x-1)$，化简得$y=-2x+3$。