题目
21.(本题满分12分)-|||-(1)设A,B为n阶可相似对角化矩阵,且有相同特征值,证明:矩阵A,B相似;-|||-0 0 1 1 0 0-|||-(2)设A= 0 1 0 B= 0 -1 求可逆矩阵P,使得 ^-1AP=B.-|||-1 0 0 -1 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明矩阵A和B相似
由于A和B都是n阶可相似对角化矩阵，且有相同的特征值，根据相似对角化定理，存在可逆矩阵${P}_{1}$和${P}_{2}$，使得${P}_{1}^{-1}A{P}_{1}={P}_{2}^{-1}B{P}_{2}=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，其对角线上的元素为A和B的特征值。由于A和B有相同的特征值，所以$\Lambda$是相同的，因此${P}_{1}^{-1}A{P}_{1}={P}_{2}^{-1}B{P}_{2}$，即${({P}_{1}{P}_{2}^{-1})}^{-1}A({P}_{1}{P}_{2}^{-1})=B$。令$P={P}_{1}{P}_{2}^{-1}$，则${P}^{-1}AP=B$，即矩阵A和B相似。
步骤 2：求可逆矩阵P
首先，计算矩阵A和B的特征值和特征向量。
对于矩阵A，特征值为${\lambda }_{1}=-1$，${\lambda }_{2}={\lambda }_{3}=1$。对应的特征向量为${\alpha }_{1}=(\begin{matrix} -1\\ 0\\ 1\end{matrix} )$，${\alpha }_{2}=(\begin{matrix} 0\\ 1\\ 0\end{matrix} )$，${\alpha }_{3}=(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 1\end{matrix} )$。因此，可逆矩阵${P}_{1}=(\begin{matrix} -1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{matrix} )$。
对于矩阵B，特征值为${\mu }_{1}=-1$，${\mu }_{2}={\mu }_{3}=1$。对应的特征向量为${\beta }_{1}=(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 0\end{matrix} )$，${\beta }_{2}=(\begin{matrix} 0\\ 1\\ -1\end{matrix} )$，${\beta }_{3}=(\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1\end{matrix} )$。因此，可逆矩阵${P}_{2}=(\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& -1& 1\end{matrix} )$。
最后，计算$P={P}_{1}{P}_{2}^{-1}$，得到$P=(\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} )$。
由于A和B都是n阶可相似对角化矩阵，且有相同的特征值，根据相似对角化定理，存在可逆矩阵${P}_{1}$和${P}_{2}$，使得${P}_{1}^{-1}A{P}_{1}={P}_{2}^{-1}B{P}_{2}=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，其对角线上的元素为A和B的特征值。由于A和B有相同的特征值，所以$\Lambda$是相同的，因此${P}_{1}^{-1}A{P}_{1}={P}_{2}^{-1}B{P}_{2}$，即${({P}_{1}{P}_{2}^{-1})}^{-1}A({P}_{1}{P}_{2}^{-1})=B$。令$P={P}_{1}{P}_{2}^{-1}$，则${P}^{-1}AP=B$，即矩阵A和B相似。
步骤 2：求可逆矩阵P
首先，计算矩阵A和B的特征值和特征向量。
对于矩阵A，特征值为${\lambda }_{1}=-1$，${\lambda }_{2}={\lambda }_{3}=1$。对应的特征向量为${\alpha }_{1}=(\begin{matrix} -1\\ 0\\ 1\end{matrix} )$，${\alpha }_{2}=(\begin{matrix} 0\\ 1\\ 0\end{matrix} )$，${\alpha }_{3}=(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 1\end{matrix} )$。因此，可逆矩阵${P}_{1}=(\begin{matrix} -1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{matrix} )$。
对于矩阵B，特征值为${\mu }_{1}=-1$，${\mu }_{2}={\mu }_{3}=1$。对应的特征向量为${\beta }_{1}=(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 0\end{matrix} )$，${\beta }_{2}=(\begin{matrix} 0\\ 1\\ -1\end{matrix} )$，${\beta }_{3}=(\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1\end{matrix} )$。因此，可逆矩阵${P}_{2}=(\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& -1& 1\end{matrix} )$。
最后，计算$P={P}_{1}{P}_{2}^{-1}$，得到$P=(\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} )$。