在组距数列中，如果每组的组中值都增加10个单位，而各组次数不变，则均值（）。A. 不变B. 有可能不变C. 增加10个单位D. 无法判断其增减

本题考查组距数列均值的计算以及组中值变化对均值的影响。解题思路是先明确组距数列均值的计算公式，再分析组中值增加$10$个单位后均值的变化情况。

设原组距数列有$n$组，第$i$组的组中值为$x_i$，次数为$f_i$（$i = 1,2,\cdots,n$）。

• 步骤一：计算原均值$\overline{x}$
  根据组距数列均值的计算公式$\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_if_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}$，其中$\sum_{i = 1}^{n}x_if_i$表示各组组中值与次数乘积的总和，$\sum_{i = 1}^{n}f_i$表示总次数。
• 步骤二：计算组中值增加$10$个单位后的新均值$\overline{x}'$
  此时第$i$组的组中值变为$x_i + 10$，则新均值$\overline{x}'=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i + 10)f_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}$。
  根据乘法分配律将上式展开可得：
  $\overline{x}'=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_if_i + 10f_i)}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_if_i + \sum_{i = 1}^{n}10f_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}$
  因为$\sum_{i = 1}^{n}10f_i = 10\sum_{i = 1}^{n}f_i$，所以$\overline{x}'=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_if_i + 10\sum_{i = 1}^{n}f_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}$。
  将上式拆分为两项：$\overline{x}'=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_if_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}+\frac{10\sum_{i = 1}^{n}f_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}$。
  由于$\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_if_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}=\overline{x}$，$\frac{10\sum_{i = 1}^{n}f_i}{\sum_{i = 1}^{n}f_i}=10$，所以$\overline{x}'=\overline{x}+10$。
  这表明新均值比原均值增加了$10$个单位。