题目
4 设overline(x)与s²分别是容量为n的样本均值与样本方差。如今又获一个样品观察值x_(n+1)，将其加入原样本便得容量为n+1的新样本。证明新样本的样本均值overline(x)_(n+1)与样本方差s_(n+1)^2分别为：overline(x)_(n+1)=(noverline(x)+x_(n+1))/(n+1)s_(n+1)^2=(n-1)/(n)s^2+(1)/(n+1)(x_(n+1)-overline(x))^2如设n=15，overline(x)=168，s=11.43，x_(n+1)=170，求overline(x)_(n+1)与s_(n+1)^2
4 设$\overline{x}$与s²分别是容量为n的样本均值与样本方差。如今又获一个样品观察值$x_{n+1}$，将其加入原样本便得容量为n+1的新样本。证明新样本的样本均值$\overline{x}_{n+1}$与样本方差$s_{n+1}^2$分别为：
$\overline{x}_{n+1}=\frac{n\overline{x}+x_{n+1}}{n+1}$
$s_{n+1}^2=\frac{n-1}{n}s^2+\frac{1}{n+1}(x_{n+1}-\overline{x})^2$
如设n=15，$\overline{x}=168$，s=11.43，$x_{n+1}=170$，求$\overline{x}_{n+1}$与$s_{n+1}^2$
题目解答
答案
1. **计算新样本均值**
\[
\overline{x}_{n+1} = \frac{n\overline{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{15 \times 168 + 170}{16} = 168.125
\]
2. **计算新样本方差**
\[
s_{n+1}^2 = \frac{n-1}{n}s^2 + \frac{1}{n+1}(x_{n+1} - \overline{x})^2
\]
代入已知值：
\[
s_{n+1}^2 = \frac{14}{15} \times 11.43^2 + \frac{1}{16} \times 2^2 = 121.14
\]
**答案**
\[
\boxed{\overline{x}_{n+1} = 168.125, \quad s_{n+1}^2 \approx 121.14
\]
解析
考查要点：本题主要考查样本均值和样本方差的递推公式，即在已有样本统计量的基础上，如何通过新增一个数据点快速更新均值和方差。
解题核心思路：
- 均值的更新：利用原样本均值与新数据点的加权平均，直接推导新均值。
- 方差的更新：通过展开方差的定义式，结合原方差与新数据点与原均值的偏差，推导递推公式。
破题关键点：
- 均值递推：新均值是原样本总和与新数据点的平均。
- 方差递推：需拆分原方差与新数据点的贡献，注意分母从$n$到$n+1$的变化。
1. 新样本均值$\overline{x}_{n+1}$的推导
原样本均值为$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，新增数据$x_{n+1}$后，新均值为：
$\overline{x}_{n+1} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1}}{n+1} = \frac{n\overline{x} + x_{n+1}}{n+1}$
2. 新样本方差$s_{n+1}^2$的推导
原样本方差为$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$。新方差定义为：
$s_{n+1}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - \overline{x}_{n+1})^2$
展开后分为两部分：
- 原样本项：利用$\overline{x}_{n+1} = \overline{x} + \frac{x_{n+1} - \overline{x}}{n+1}$，展开平方项并化简，得到$\frac{n-1}{n}s^2$。
- 新数据项：单独计算$(x_{n+1} - \overline{x}_{n+1})^2$，进一步化简为$\frac{1}{n+1}(x_{n+1} - \overline{x})^2$。