题目
[题目]求函数 (x)=(x)^2-dfrac (1)(x(x-1)) 的间断点,并-|||-判断其类型.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $f(x)={x}^{2}-\dfrac {1}{x(x-1)}$ 的定义域为所有实数，除了使分母为零的点。因此，我们需要找到使 $x(x-1)=0$ 的 $x$ 值。
步骤 2：求解分母为零的点
解方程 $x(x-1)=0$，得到 $x=0$ 或 $x=1$。因此，函数在 $x=0$ 和 $x=1$ 处没有定义。
步骤 3：判断间断点的类型
我们需要判断 $x=0$ 和 $x=1$ 处的间断点类型。首先，检查极限是否存在。
- 对于 $x=0$，计算 $\lim_{x \to 0} f(x)$。
- 对于 $x=1$，计算 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
步骤 4：计算极限
- 当 $x \to 0$ 时，$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x^2 - \frac{1}{x(x-1)} \right)$。由于 $\frac{1}{x(x-1)}$ 在 $x=0$ 处趋向于无穷大，因此 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。
- 当 $x \to 1$ 时，$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \left( x^2 - \frac{1}{x(x-1)} \right)$。由于 $\frac{1}{x(x-1)}$ 在 $x=1$ 处趋向于无穷大，因此 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 不存在。
步骤 5：确定间断点类型
由于在 $x=0$ 和 $x=1$ 处的极限都不存在，因此这两个点都是无穷间断点。
函数 $f(x)={x}^{2}-\dfrac {1}{x(x-1)}$ 的定义域为所有实数，除了使分母为零的点。因此，我们需要找到使 $x(x-1)=0$ 的 $x$ 值。
步骤 2：求解分母为零的点
解方程 $x(x-1)=0$，得到 $x=0$ 或 $x=1$。因此，函数在 $x=0$ 和 $x=1$ 处没有定义。
步骤 3：判断间断点的类型
我们需要判断 $x=0$ 和 $x=1$ 处的间断点类型。首先，检查极限是否存在。
- 对于 $x=0$，计算 $\lim_{x \to 0} f(x)$。
- 对于 $x=1$，计算 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
步骤 4：计算极限
- 当 $x \to 0$ 时，$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x^2 - \frac{1}{x(x-1)} \right)$。由于 $\frac{1}{x(x-1)}$ 在 $x=0$ 处趋向于无穷大，因此 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。
- 当 $x \to 1$ 时，$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \left( x^2 - \frac{1}{x(x-1)} \right)$。由于 $\frac{1}{x(x-1)}$ 在 $x=1$ 处趋向于无穷大，因此 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 不存在。
步骤 5：确定间断点类型
由于在 $x=0$ 和 $x=1$ 处的极限都不存在，因此这两个点都是无穷间断点。