题目
设随机变量 X 与 Y 的方差分别为1和4，相关系数为0.5，则 A. 3B. 5C. 6D. 7
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的方差分别为1和4，相关系数为0.5，则 $
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
题目解答
答案
D. 7
解析
步骤 1：确定方差和协方差
已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差分别为 $D(X) = 1$ 和 $D(Y) = 4$，相关系数 $\rho_{XY} = 0.5$。标准差 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别是方差的平方根，即 $\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1} = 1$ 和 $\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{4} = 2$。
步骤 2：计算协方差
协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 可以用相关系数 $\rho_{XY}$ 和 $X$、$Y$ 的标准差 $\sigma_X$、$\sigma_Y$ 表示为： \[\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y = 0.5 \times 1 \times 2 = 1\]
步骤 3：计算 $D(X+Y)$
使用随机变量和的方差公式： \[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) = 1 + 4 + 2 \times 1 = 1 + 4 + 2 = 7\]
已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差分别为 $D(X) = 1$ 和 $D(Y) = 4$，相关系数 $\rho_{XY} = 0.5$。标准差 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分别是方差的平方根，即 $\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1} = 1$ 和 $\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{4} = 2$。
步骤 2：计算协方差
协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 可以用相关系数 $\rho_{XY}$ 和 $X$、$Y$ 的标准差 $\sigma_X$、$\sigma_Y$ 表示为： \[\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y = 0.5 \times 1 \times 2 = 1\]
步骤 3：计算 $D(X+Y)$
使用随机变量和的方差公式： \[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y) = 1 + 4 + 2 \times 1 = 1 + 4 + 2 = 7\]