题目
设z=(1+x^2y)^y，求&z/&x,&z/&y
设z=(1+x^2y)^y，求&z/&x,&z/&y
题目解答
答案
lnz=yln(1+yx^2)
∂lnz/∂x=(1/z)∂z/∂x=2xy^2/(1+yx^2)
∂z/∂x=2zxy^2/(1+yx^2)=2xy^2(1+yx^2)^(y-1)
∂lnz/∂y=(1/z)∂z/∂y=ln(1+yx^2)+yx^2/(1+yx^2)
∂z/∂y=(1+yx^2)^y [ln(1+yx^2) + yx^2/(1+yx^2)]
∂lnz/∂x=(1/z)∂z/∂x=2xy^2/(1+yx^2)
∂z/∂x=2zxy^2/(1+yx^2)=2xy^2(1+yx^2)^(y-1)
∂lnz/∂y=(1/z)∂z/∂y=ln(1+yx^2)+yx^2/(1+yx^2)
∂z/∂y=(1+yx^2)^y [ln(1+yx^2) + yx^2/(1+yx^2)]
解析
步骤 1：对z关于x求偏导数
首先，我们对z关于x求偏导数。由于z是一个复合函数，我们需要使用链式法则。首先，我们对z取自然对数，得到lnz=yln(1+yx^2)。然后，我们对lnz关于x求偏导数，得到(1/z)∂z/∂x=2xy^2/(1+yx^2)。最后，我们解出∂z/∂x=2zxy^2/(1+yx^2)=2xy^2(1+yx^2)^(y-1)。
步骤 2：对z关于y求偏导数
接下来，我们对z关于y求偏导数。同样地，我们使用链式法则。我们已经得到了lnz=yln(1+yx^2)，现在我们对lnz关于y求偏导数，得到(1/z)∂z/∂y=ln(1+yx^2)+yx^2/(1+yx^2)。最后，我们解出∂z/∂y=(1+yx^2)^y [ln(1+yx^2) + yx^2/(1+yx^2)]。
首先，我们对z关于x求偏导数。由于z是一个复合函数，我们需要使用链式法则。首先，我们对z取自然对数，得到lnz=yln(1+yx^2)。然后，我们对lnz关于x求偏导数，得到(1/z)∂z/∂x=2xy^2/(1+yx^2)。最后，我们解出∂z/∂x=2zxy^2/(1+yx^2)=2xy^2(1+yx^2)^(y-1)。
步骤 2：对z关于y求偏导数
接下来，我们对z关于y求偏导数。同样地，我们使用链式法则。我们已经得到了lnz=yln(1+yx^2)，现在我们对lnz关于y求偏导数，得到(1/z)∂z/∂y=ln(1+yx^2)+yx^2/(1+yx^2)。最后，我们解出∂z/∂y=(1+yx^2)^y [ln(1+yx^2) + yx^2/(1+yx^2)]。