若总体 X sim N(mu, sigma^2)，其中 sigma^2 已知，当置信水平 1-alpha 保持不变时，如果样本容量 n 增大，则 mu 的置信区间（）。A. 长度变大；B. 长度变小；C. 长度不变；D. 长度不一定不变.

本题考查正态总体均值的置信区间以及样本容量对置信区间长度的影响。解题思路是先根据已知条件写出总体均值 $\mu$ 的置信区间，再计算出该置信区间的长度，最后分析样本容量 $n$ 增大时置信区间长度的变化情况。

步骤一：写出总体均值 $\mu$ 的置信区间

已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 已知，样本容量为 $n$，样本均值为 $\overline{X}$。根据正态分布的性质，统计量 $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$。
对于给定的置信水平 $1 - \alpha$，查标准正态分布表可得双侧分位数 $z_{\frac{\alpha}{2}}$，使得 $P\{ -z_{\frac{\alpha}{2}} < Z < z_{\frac{\alpha}{2}} \} = 1 - \alpha$，即 $P\{ -z_{\frac{\alpha}{2}} < \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha}{2}} \} = 1 - \alpha$。
对不等式进行变形可得：
$\begin{align*}-z_{\frac{\alpha}{2}} &< \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < z_{\frac{\alpha}{2}}\\-z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} &< \overline{X} - \mu < z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} &< \mu < \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\end{align*}$
所以，$\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$。

步骤二：计算置信区间的长度

置信区间的长度 $L$ 等于置信区间的上限减去下限，即：
$\begin{align*}L &= (\overline{X区间的上限}) - (\overline{这个区间的下限})\\&= (\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) - (\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}})\\&= 2z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\end{align*}$

步骤三：分析样本容量 $n$ 增大时置信区间长度的变化情况

由置信区间长度的表达式 $L = 2z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 可知，当置信水平 $1 - \alpha$ 保持不变时，$z_{\frac{\alpha}{2}}$ 为常数，$\sigma$ 也为常数。
因为样本容量 $n$ 在分母位置，且 $n$ 增大时，$\sqrt{n}$ 增大，那么 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 减小，所以 $2z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 减小，即置信区间的长度变小。