lim_(x to 0) (sqrt(1 + 2sin x) - cos x)/(x) = ( )A. 0B. 1C. 2D. (1)/(2)

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，如洛必达法则、泰勒展开或分子有理化。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致分子分母均为0时，需通过变形或求导简化表达式。关键点在于灵活选择方法（如洛必达法则或泰勒展开），将复杂形式转化为可计算的极限。

破题关键：

1. 识别0/0型不定式，确定适用洛必达法则或展开方法。
2. 分子有理化可简化表达式，或通过泰勒展开近似处理三角函数。

方法一：洛必达法则

1. 验证条件：当$x \to 0$时，分子$\sqrt{1+2\sin x} - \cos x \to 0$，分母$x \to 0$，满足0/0型不定式。
2. 对分子分母分别求导：
   • 分子导数：
     $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{1+2\sin x} - \cos x \right) = \frac{2\cos x}{2\sqrt{1+2\sin x}} + \sin x = \frac{\cos x}{\sqrt{1+2\sin x}} + \sin x$
   • 分母导数：$\frac{d}{dx} x = 1$
3. 代入$x=0$：
   $\frac{\cos 0}{\sqrt{1+2\cdot 0}} + \sin 0 = \frac{1}{1} + 0 = 1$
   因此，极限值为$1$。

方法二：泰勒展开

1. 展开分子中的三角函数：
   • $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$
   • $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$
   • $\sqrt{1+2\sin x} \approx 1 + x - \frac{x^2}{2}$（保留到二次项）
2. 计算分子：
   $\sqrt{1+2\sin x} - \cos x \approx \left(1 + x - \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = x$
3. 简化分式：
   $\frac{x}{x} = 1$

方法三：分子有理化

1. 分子有理化：
   $\frac{\sqrt{1+2\sin x} - \cos x}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+2\sin x} + \cos x}{\sqrt{1+2\sin x} + \cos x} = \frac{(1+2\sin x) - \cos^2 x}{x \cdot (\sqrt{1+2\sin x} + \cos x)}$
2. 化简分子：
   $1 + 2\sin x - \cos^2 x = \sin^2 x + 2\sin x = \sin x (\sin x + 2)$
3. 代入近似值：
   $\frac{\sin x (\sin x + 2)}{x \cdot (\sqrt{1+2\sin x} + \cos x)} \approx \frac{x \cdot 2}{x \cdot 2} = 1$